Chapitre 7Continuité

L’étude de la limite de $f$ en $1$ nous amène à la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$.
En utilisant la technique de la quantité conjuguée, nous obtenons : $$f(x)=\dfrac{3(x+1)}{\sqrt{3x^2+1}+2}.$$ Grâce à cette écriture, nous en déduisons que $\lim\limits_{x\to 1}\ f(x)=\dfrac{3}{2}$.
Nous pouvons donc prolonger $f$ par continuité en $1$ et nous posons $f(1)=\dfrac{3}{2}$.

L’étude de la limite de $f$ en $0$ nous amène à la forme indéterminée $0\times\infty$.
Transformons l’écriture de $f(x)$. $$f(x)=\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{\cos^2(x)-1}{\cos(x)}\right)=\dfrac{-\sin^2(x)}{x\cos(x)}=-x{\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)}^2\dfrac{1}{\cos(x)}.$$ Grâce à cette écriture, nous en déduisons : $\lim\limits_{x\to 0}\ f(x)=0$.
Nous pouvons donc prolonger $f$ par continuité en $0$ et nous posons $f(1)=0$.

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)-x$.
$g$ est définie et continue sur $[0,1]$. De plus, $g(0)\ge 0$ et $g(1)\le$0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s’annule (au moins) une fois sur $[0,1]$ en un réel $x_0$. Nous en déduisons que ce réel $x_0$ est solution de l’équation « $f(x)=x$ » et donc, cette éqaution a au moins une solution dans $[0,1]$.

L’étude de la limite de $f$ en $\dfrac{\pi}{4}$ nous amène à la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$.
Nous transformons l’écriture de $f(x)$ à l’aide des formules de trigonométrie et nous obtenons : $$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\ f(x)=-1.$$ Nous pouvons donc prolonger $f$ par continuité en $\dfrac{\pi}{4}$ et nous posons $f\left(\dfrac{\pi}{4} \right)=-1$.

L’étude de la limite de $f$ en $\dfrac{\pi}{4}$ nous amène à la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$.
Nous transformons l’écriture de $f(x)$ à l’aide des formules de trigonométrie et nous obtenons : $$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\ f(x)=-\sqrt{2}.$$ Nous pouvons donc prolonger $f$ par continuité en $\dfrac{\pi}{4}$ et nous posons $f\left(\dfrac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}$.

Montrons que $\forall x\in \R,\ f(x+2)=f(x)$.
Nous avons déjà vu la fonction $D$ définie par $D(x)=x-E(x)$ (fonction partie décimale).$D$ est une fonction de période $1$ et continue sur $\R\setminus\Z$. Nous en déduisons que $f$ est continue sur $\R\setminus\Z$ et pour l’étude sur $\Z$, il suffit d’étudier la continuité en $0$ et en $1$.

Nous avons : $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ f(x)=0=f(0)\quad\text{et}\quad\lim\limits_{\begin{aligned}x&\to {0^-} \\x&\lt 0 \\\end{aligned}}\ f(x)=-1\ne f(0).$$ Donc, $f$ est continue à droite en $0$ mais pas à gauche.
Grâce à la propriété « $\forall x\in \R,\ f(x+2)=f(x)$ », nous en déduisons que $f$ est continue à droite en $2k$ pour $k$ entier, mais pas à gauche.

Nous avons : $$\lim\limits_{x\to 1^+}\ f(x)=0=f(1)\quad\text{et}\quad\lim\limits_{\begin{aligned}x&\to {1^-} \\x&\lt 1 \\\end{aligned}}\ f(x)=1\ne f(0).$$ Donc, $f$ est continue à droite en 1 mais pas à gauche.Grâce à la propriété « $\forall x\in \R,\ f(x+2)=f(x)$ », nous en déduisons que $f$ est continue à droite en $2k+1$ pour $k$ entier, mais pas à gauche.

Montrons que : $\forall x\in \R,\ f(x+1)=f(x)+1$.Nous avons déjà vu la fonction $D$ définie par $D(x)=x-E(x)$ (fonction partie décimale).$D$ est une fonction de période 1 et continue sur $\R\setminus\Z$.Nous en déduisons que $f$ est continue sur $\R\setminus\Z$ et pour l’étude sur $\Z$, il suffit d’étudier la continuité en $0$.

Nous avons : $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ f(x)=0=f(0)\quad\text{et}\quad\lim\limits_{\begin{aligned}x\to {0^-} \\x\lt 0 \\\end{aligned}}\ f(x)=0=f(0).$$ Donc, $f$ est continue à droite et à gauche en 0, donc $f$ est continue en 0.
Grâce à la propriété « $\forall x\in \R,\ f(x+1)=f(x)+1$ », nous en déduisons que $f$ est continue sur $\Z$.