Exercice
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=x−cos(x) et l’équation (E) cos(x)=x.
- Démontrer que f est une bijection de R sur un ensemble à préciser.
- Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution α sur R et que 0<α<1.
- Donner un encadrement de α de largeur inférieure à 10−2.
Voir la solution
- f est définie sur R. La fonction f est dérivable sur R, car c’est la somme de fonctions dérivables sur R.∀x∈R,f′(x)=1+sin(x)≥0.De plus, f′(x)=0⟺x=−π2+2kπ avec k∈Z. f est donc dérivable et strictement croissante sur R.En outre, pour tout x réel, −1+x≤f(x)≤1+x.Comme limx→+∞(−1+x)=limx→+∞(1+x)=+∞, d’après le théorème des gendarmes, nous concluons :limx→+∞f(x)=+∞.Nous en déduisons que f est une bijection de R sur R.
- f étant une bijection de R dans R, 0 a un unique antécédent par f dans R. Donc, l’équation (E) admet une unique solution α sur R.De plus, f(0) et f(1) sont de signes contraires (f(0)=−1 et f(1)≃0,4).Donc, 0<α<1.
- Nous avons le tableau de valeurs (approchées) :x00,50,730,741f(x)−1−0,3−0,010,0010,4Nous en déduisons : 0,73<α<0,74.Nous verrons dans le module « Suites » comment procéder de manière algorithmique (Méthode par dichotomie).