ExercicesNiveau 2

Exercice
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=xcos(x) et l’équation (E) cos(x)=x.
  1. Démontrer que f est une bijection de R sur un ensemble à préciser.
  2. Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution α sur R et que 0<α<1.
  3. Donner un encadrement de α de largeur inférieure à 102.
  1. f est définie sur R. La fonction f est dérivable sur R, car c’est la somme de fonctions dérivables sur R.xR,f(x)=1+sin(x)0.De plus, f(x)=0x=π2+2kπ avec kZ. f est donc dérivable et strictement croissante sur R.En outre, pour tout x réel, 1+xf(x)1+x.Comme limx+(1+x)=limx+(1+x)=+, d’après le théorème des gendarmes, nous concluons :limx+f(x)=+.Nous en déduisons que f est une bijection de R sur R.
  2. f étant une bijection de R dans R, 0 a un unique antécédent par f dans R. Donc, l’équation (E) admet une unique solution α sur R.De plus, f(0) et f(1) sont de signes contraires (f(0)=1 et f(1)0,4).Donc, 0<α<1.
  3. Nous avons le tableau de valeurs (approchées) :x00,50,730,741f(x)10,30,010,0010,4Nous en déduisons : 0,73<α<0,74.Nous verrons dans le module « Suites » comment procéder de manière algorithmique (Méthode par dichotomie).