Chapitre 9Bijections

1. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, car c’est la somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.\[\forall x\in \mathbb{R},f'(x)=1+\sin(x)\ge 0.\]De plus, $f'(x)=0 \iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\text{ avec } k\in \mathbb{Z}$. $f$ est donc dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.En outre, pour tout $x$ réel, $-1+x\le f(x)\le 1+x$.Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}(-1+x)=\lim\limits_{x\to +\infty}(1+x)=+\infty$, d’après le théorème des gendarmes, nous concluons :\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty .\]Nous en déduisons que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.
2. $f$ étant une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $0$ a un unique antécédent par $f$ dans $\mathbb{R}$. Donc, l’équation $(E)$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.De plus, $f(0)$ et $f(1)$ sont de signes contraires ($f(0)=-1$ et $f(1)\simeq 0{,}4$).Donc, $0\lt \alpha \lt 1$.
3. Nous avons le tableau de valeurs (approchées) :\[\begin{array}{|r|r|r|r|l|l|}\hline \\x & 0 & 0{,}5 & 0{,}73 & 0{,}74 & 1 \\\hline \\f(x) & -1 & -0{,}3 & -0{,}01 & 0{,}001 & 0{,}4 \\\hline\end{array}\]Nous en déduisons : $0{,}73\lt\alpha\lt 0{,}74$.Nous verrons dans le module « Suites » comment procéder de manière algorithmique (Méthode par dichotomie).