Etablir la relation : $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n$.
Développons (1+1)n grâce à la formule du binôme de Newton :\[(1+1)n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}.\]Or, nous avons bien sûr $(1+1)^n=2n$.
D’où le résultat.
Développer, par la formule du binôme de Newton, les polynômes suivants :\[(x+1)^{2n}\quad (x-1)^{2n}\quad (x^2-1)^{2n}.\]En déduire que :\[1-{\binom{2n}{1}}^2+{\binom{2n}{2}}^2+\dotsb+(-1)^{2n}{\binom{2n}{2n}}^2={(-1)}^n\left[\frac{(n+1)(n+2)\dotsm2n}{n!}\right].\]Pour cela, on étudiera le coefficient du terme en $x^{2n}$ dans le produit des deux premiers polynômes, puis dans le troisième polynôme.
(Sujet d’après baccalauréat)
\begin{align}(x+1)^{2n}&=\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^{2n-k}1^k=\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^{2n-k}\label{eq:ex2-1} \\(x-1)^{2n}&=\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^{2n-k}{(-1)}^k=\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}{(-1)}^kx^{2n-k}\label{eq:ex2-2} \\(x^2-1)^{2n}&=\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^{2(2n-k)}{(-1)}^k=\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}{(-1)}^kx^{2(2n-k)}\label{eq:ex2-3}\end{align}
Nous avons : $(x^2-1)^{2n}=(x+1)^{2n}(x-1)^{2n}$.
Dans cette égalité de 2 polynômes, déterminons le coefficient du monôme x^{2n} dans chacun des deux membres.
Dans le terme $(x^2-1)^{2n}$, le coefficient du monôme $x^{4n}$ s’obtient en prenant $k=n$ dans l’égalité $\eqref{eq:ex2-3}$.
Nous obtenons :\[{(-1)}^n\binom{2n}{n},\text{ c’est-à-dire }{(-1)}^n\left[\dfrac{(n+1)(n+2)\dotsm 2n}{n!} \right].\]Pour le deuxième membre, pour obtenir le terme en $x^{2n}$, il faut faire la somme de tous les produits d’un monôme en $x^j$ (du terme $(x+1)^{2n}$) par un monôme en $x^{2n-j}$ (du terme $(x-1)^{2n}$).
Nous obtenons alors comme coefficient du monôme $x^{2n}$ dans le deuxième terme :\[(-1)^0\binom{2n}{0}\binom{2n}{2n}+(-1)^1\binom{2n}{1}\binom{2n}{2n-1}+\dotsb+(-1)^{2n}\binom{2n}{2n}\binom{2n}{0}.\]Or, d’après les formules de Pascal :\[\textit{Pour tout entier naturel $n$ et $p$ compris entre $0$ et $n$,}\ \binom{n}{n-p}=\binom{n}{p}.\]Donc,\begin{align*}&(-1)^0\binom{2n}{0}\binom{2n}{2n}+(-1)^1\binom{2n}{1}\binom{2n}{2n-1}+\dotsb+(-1)^{2n}\binom{2n}{2n}\binom{2n}{0} \\&=(-1)^0{\binom{2n}{0}}^2+(-1)^1{\binom{2n}{1}}^2+\dotsb+(-1)^{2n}{\binom{2n}{2n}}^2 \\&=1-{\binom{2n}{1}}^2+\dotsb+(-1)^{2n}{\binom{2n}{2n}}^2.\end{align*}D’où le résultat.