On considère la fonction $f(x)=\dfrac{1}{2x+3}$.
- Trouver un réel $A\gt 0$ tel que, pour tout $x\gt A$ on ait $f(x) \lt {10}^{-2}$.
- Trouver un réel $\varepsilon \gt 0$ tel que, pour tout $0\lt 2x+3\lt \varepsilon$ on ait $f(x)\gt {10}^3$.
- Trouver un réel $\varepsilon \lt 0$ tel que, pour tout $\varepsilon \lt 2x+3\lt 0$ on ait $f(x)\lt-{10}^4$.
- On peut choisir $A\gt 48{,}5$.
- On peut choisir $\varepsilon \lt 10^{-3}$.
- On peut choisir $\varepsilon \gt-{10}^{-4}$.
Etudier les limites éventuelles de chacune des fonctions suivantes en $0$, $+\infty$ et $-\infty$.\[\begin{align*}f(x)&=5+\frac{1}{\sqrt{x}},&g(x)&=\frac{5x^2+2}{x^2}, \\h(x)&=\frac{x^3-2}{x^2},&t(x)&=\frac{1}{x}-\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\end{align*}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline& f(x) & g(x) & h(x) & t(x) \\\hline-\infty & \text{non défini} & 5 & -\infty & +\infty \\\hline0 & +\infty & +\infty & -\infty & 0 \\\hline+\infty & 5 & 5 & +\infty & -\infty \\\hline\end{array}\]
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x+\sqrt{{x^2}+1}$.
$A$ l’aide de la technique de la quantité conjuguée montrer que :
- L’axe $x’Ox$ est asymptote à la courbe en $-\infty$.
- La droite d’équation $y=2x$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.
- $f(x)=\dfrac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}$ donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.
- $f(x)-2x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-2x]=0$.
Calculer les limites des fonctions suivantes au point $a$ indiqué :
- $f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x-2}$, $a=2$.
- $g(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{2{x^2}-x-1}$, $a=1$.
- $h(x)=\dfrac{x+\frac{1}x-2}{x-1}$, $a=1$.
- Factorisons le numérateur.\[\begin{align*}f(x)&=\dfrac{x^2-x-2}{x-2} \\&=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2} \\&=x+1\end{align*}\]Donc :\[\lim\limits_{x\to 2}f(x)=3.\]
- Cherchons à simplifier la fonction $g$.\[\begin{align*}g(x)&=\dfrac{x^2+2x-3}{2x^2-x-1} \\&=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(2x+1)} \\&=\dfrac{x+3}{2x+1}\end{align*}\]Donc :\[\lim\limits_{x\to 1}g(x)=\dfrac{4}{3}.\]
- Simplifions la fcontion $h$.\[\begin{align*}h(x)&=\dfrac{x+\dfrac{1}{x}-2}{x-1} \\&=\dfrac{x^2-2x+1}{x(x-1)} \\&=\dfrac{{(x-1)}^2}{x(x-1)} \\&=\dfrac{x-1}{x}\end{align*}\]Donc :\[\lim\limits_{x\to 1}h(x)=0.\]
Calculer les limites des fonctions suivantes au point $a$ indiqué :
- $f(x)=\dfrac{\sqrt x-3}{x-9}$, $a=9$.
- $g(x)=\dfrac{x\sqrt x-8}{4-x}$, $a=4$.
- $h(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{1}{x}$, $a=0$.
- On remarque que le dénominateur est de la forme $a^2-b^2$, d’où :\[\begin{align*}f(x)&=\dfrac{\sqrt x-3}{x-9} \\&=\dfrac{\sqrt x-3}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)} \\&={1}{\sqrt x+3}\end{align*}\]Donc :\[\lim\limits_{x\to 9}f(x)=\dfrac{1}{6}.\]
- En posant, $\varphi(x)=x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$, nous avons :
\[\begin{align*}g(x)&=\dfrac{x\sqrt x-8}{4-x} \\&=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(4)}{x-4}\end{align*}\]Donc :\[\lim\limits_{x\to 4}g(x)=\varphi'(4)=3.\]- Réunissons les fractions sous le même dénominateur :\[\begin{align*}h(x)&=\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{1}{x} \\&=\dfrac{-x}{x(x+1)} \\&=\dfrac{-1}{x+1}\end{align*}\]Donc :\[\lim\limits_{x\to 0}h(x)=-1.\]