Chapitre 7Continuité

Soit la fonction « partie décimale » définie pour tout réel $x$ par : $D(x)=x-E(x)$ Lien vers le module « limite » Nous avons vu cette fonction dans le chapitre « Limite » .Déterminer l’ensemble de continuité de cette fonction (c’est-à-dire l’ensemble des réels $x$ où la fonction est continue).

Indication : on montre que $D$ est définie sur $\R$ et est périodique de période $1$.

Dans les exemples suivants, déterminer la limite de la fonction $f$ en $x_0$ et indiquer si nous pouvons prolonger $f$ par continuité en x_0.

1. $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $x_0=0$.
2. $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ et $x_0=2$.
3. $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x+3}}$ et $x_0=-3$.

Dans cet exercice, $f$ désigne une fonction strictement monotone.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Lorsqu’une proposition est fausse, vous indiquerez un contre-exemple.

1. Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors $f$ s’annule une seule fois sur $[a,b]$.
2. Si $f$ est continue sur $\R$ et si $\lim\limits_{x\to -\infty}\ f(x)\times \lim\limits_{x\to +\infty}\,f(x)\le 0$, alors $f$ s’annule une seule fois sur $\R$.

Dans chacun des cas suivants, donner un exemple de fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ telle que $f(a)\cdot f(b)\lt 0$ et :

1. $f$ a une unique racine en 1.
2. $f$ a exactement deux racines.
3. $f$ a une infinité de racines.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-3,1]$ par $f(x)=x+\sqrt{-3{x^2}-6x+9}$.
Discuter du nombre de solution de l’équation « $f(x)=m$ », suivant les valeurs du paramètre $m$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-3,1]$ par : $f(x)=x-\sqrt{-3{x^2}-6x+9}$.
Discuter du nombre de solution de l’équation « $f(x)=m$ », suivant les valeurs du paramètre $m$.