Soit $f$ la fonction de $A$ vers $B$ définie par $f(x)=x^2$.
Indiquer dans chacun des cas suivants si $f$ est une bijection :
- $A=\mathbb{R}$ et $B=[0,+\infty[$
- $A=[-2,-1]$ et $B=[1,4]$
- $A=[0,\infty[$ et $B=\mathbb{R}$
- $A=]0,5[$ et $B=[0,25]$
- Non car tout réel strictement positif admet deux antécédents distincts.
- Oui.
- Non car les réels strictement négatifs n’ont pas d’antécédent.
- Non car $0$ et $25$ n’ont pas d’antécédent.
Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f(x)= 2x^3+3x^2+18x+18$.
- Etudier les variations de $f$.
- $f$ est-elle une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ?
- $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=6(x^2+x+3)\gt 0$.
$f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.- $f$ est dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et l’image de $\mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$ : c’est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Soit $g$ la fonction de $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ définie par $g(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$.
- Soit $y$ un réel autre que $2$. Montrer que l’équation « $y=g(x)$ », d’inconnue $x$ , admet une unique solution dans $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
- Que peut-on en déduire pour $g$ ? Exprimer $g^{-1}$.
- $y=g(x)\iff y=\dfrac{2x+3}{x-1}\iff x(y-2)= 3+y\iff x=\dfrac{y+3}{y-2}$.
La solution trouvée n’est pas égale à $1$ car $y+3\ne y-2$.- $g$ est donc une bijection de $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
La bijection réciproque $g^{-1}$ est définie de $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $g^{-1}(y)=\dfrac{y+3}{y-2}$.
Soit $f$ la fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ définie par$f(n)=\begin{cases}n+1 &\text{si $n$ est pair} \\ n-1 &\text{si $n$ est impair.} \\ \end{cases}$
$f$ est-elle une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ ?
On doit vérifier deux choses :
- $f$ est une application : en effet tout entier naturel admet une image dans $\mathbb{N}$ par $f$.
- Tout entier naturel admet un unique antécédent par $f$ dans $\mathbb{N}$.
On vérifie ainsi que $f$ est une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$.
Soit $A=\{1;2;3;4;5\}$ et $B=\{-1;0;6;9;15\}$.
- Combien existe-t-il de bijections différentes de $A$ vers $B$ ?
- Ecrire toutes les bijections telles que $f(3)=0$ et $f(1)=15$.
- Combien y-a-t-il de bijections strictement croissantes de $A$ vers $B$ ?
- Soit $N_1$ le nombre de bijections de $A$ vers $B$.
On a : $N_1=4\times 3\times 2\times 1=4!=24$.- Soit $N_1$ le nombre de bijections de $A$ vers $B$ telles que $f(3)=0$ et $f(1)=15$.
On a $N_2=3\times 2\times 1=3!=6$.- Il n’y a qu’une seule bijection strictement croissante de $A$ vers $B$. elle est définie par :
$f(1)=-1$ ; $f(2)=0$ ; $f(3)=6$ ; $f(4)=9$ et $f(5)=15$.
Soit $A$ et $B$ deux ensembles finis.
Montrer qu’une condition nécessaire pour qu’il existe une bijection de $A$ vers $B$ est que $A$ et $B$ aient le même nombre d’éléments.
On distingue 2 cas :
- Supposons que $A$ ait strictement plus d’éléments que $B$.
Comme tout élément de $A$ a une image unique par $f$ dans $B$, alors il y a obligatoirement au moins un élément $b_0$ de $B$ qui aura au moins deux antécédents. Dans ce cas l’équation $f(x)=b_0$ aura au moins deux solutions et $f$ ne sera pas une bijection.- Supposons que $A$ ait strictement moins d’éléments que $B$.
Comme tout élément de $A$ a une image unique par $f$ dans $B$, alors il y a obligatoirement au moins un élément $b_0$ de $B$ qui n’aura pas d’antécédent par $f$. Dans ce cas l’équation $f(x)=b_0$ n’aura aucune solution et $f$ ne sera pas une bijection.Nous en concluons que la seule possibilité restante pour qu’il existe une bijection de $A$ vers $B$ est que $A$ et $B$ aient le même nombre d’éléments.
Trouver des exemples de bijections de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ montrant que :
- la somme de deux bijections n’est pas toujours une bijections,
- le produit de deux bijections n’est pas toujours une bijection,
- le quotient de deux bijections n’est pas toujours une bijection.
- Soient $f$ et $g$ les bijections de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définies pour tout réel $x$ par $f(x)=x+1$ et $g(x)=-x+3$.
Alors, pour tout réel $x$, $(f+g)(x)=4$ et donc $(f+g)$ n’est pas une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.- Soient $f$ et $g$ les bijections de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définies pour tout réel $x$ par $f(x)=x$ et $g(x)=x$.
Alors, pour tout réel $x$, $(fg)(x)=x^2$ et donc $(fg)$ n’est pas une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.- Soient $f$ et $g$ les bijections de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définies pour tout réel $x$ par $f(x)=x+5$ et $g(x)=x-7$.
Alors, pour tout réel $x$, $\dfrac{f}{g}(x)=\dfrac{x+5}{x-7}$.
On remarque que $7$ n’a pas d’image (et que $1$ n’a pas d’antécédent) et donc $\dfrac{f}{g}$ n’est pas une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.