Chapitre 17Applications linéaires

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
Parmi celles qui le sont, préciser éventuellement s’il s’agit de formes linéaires ou d’endomorphismes. \[\begin{align*}&f_1\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R} \\(x,y,z)&\longmapsto x+2y\end{aligned}\right.&&f_2\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R} \\(x,y,z)&\longmapsto xy\end{aligned}\right. \\&f_3\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R}^2 \\(x,y,z)&\longmapsto(x+2y,x-y)\end{aligned}\right.&&f_4\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R}^3 \\(x,y,z)&\longmapsto(x+y,y+z,z+x)\end{aligned}\right.\end{align*}\]

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?\[f_1\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}[X]&\longrightarrow\mathbb{R}[X] \\P&\longmapsto 2P+P’\end{aligned}\right. \qquadf_2\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}[X]&\longrightarrow\mathbb{R}[X] \\P&\longmapsto XP+P^{\prime\prime}\end{aligned}\right. \qquadf_3\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}[X]&\longrightarrow\mathbb{R}[X] \\P&\longmapsto P^2\end{aligned}\right.\]

Dans $E$ un espace vectoriel muni d’une base $\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)$, soit $f$ endomorphisme de $E$ défini par :\[\begin{align*}f(e_1)&=2e_1-e_2+e_3 \\f(e_2)&=e_1+e_2-2e_3 \\f(e_3)&=e_1+e_2+e_3.\end{align*}\]

Déterminer les coordonnées de $f(V)$ pour $V=xe_1+ye_2+ze_3$.

Soit l’application $f$ suivante :\[f\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R}^2 \\(x,y,z)&\longmapsto (3x+2y,y-z).\end{aligned}\right.\]Déterminer l’image de la base canonique $\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ en fonction de la base canonique $\mathscr{B}^\prime=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ de $\mathbb{R}^2$.

Soient les applications suivantes :\[f_1\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R} \\(x,y,z)&\longmapsto x+2y\end{aligned}\right. \qquadf_2\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R}^2 \\(x,y,z)&\longmapsto(x+2y,x-y)\end{aligned}\right.\]Déterminer leur image et leur noyau.

Déterminer l’image et le noyau pour les applications $f$ et $g$ suivantes : \[f\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}_4[X]&\longrightarrow\mathbb{R}_4[X] \\P&\longmapsto P’\end{aligned}\right. \qquadg\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}_2[X]&\longrightarrow\mathbb{R}_2[X] \\ P&\longmapsto XP’+P\end{aligned}\right.\]

Soit l’application $f$ suivante :\[f\colon\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^3&\longrightarrow\mathbb{R}^3 \\(x,y,z)&\longmapsto (x-y+2z,x+y+z,0).\end{aligned}\right.\]Démontrer que $\mathbb{R}^3=\Img(f)\oplus\Ker(f)$.
A-t-on $f\circ f=f$ ?

Dans $\mathbb{R}^3$, soient $E_1=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\bigm\vert x+y+z=0\bigr\}$ et $E_2=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\bigm\vert x=y=z\bigr\}$.

1. Démontrer que $\bigl(V_1=(-1,1,0),V_2=(-1,0,1)\bigr)$ est une base de $E_1$.
2. Démontrer que $\bigl(V_3=(1,1,1)\bigr)$ est une base de $E_2$.
3. Démontrer que tout vecteur de $\mathbb{R}^3$ se décompose d’une manière unique sous la forme de la somme d’un vecteur de $E_1$ et d’un vecteur de $E_2$ et en déduire que $\mathbb{R}^3=E_1\oplus E_2$.
4. Soit $p$ la projection sur $E_1$ parallèlement à $E_2$. Calculer $p(x,y,z)$.
5. Soit $s$ la symétrie par rapport à $E_1$ parallèlement à $E_2$. Calculer $s(x,y,z)$.