Chapitre 19Intégrales généralisées

Montrons que l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_0^1{\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t}$ converge en la calculant.

La fonction $f:t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ est continue sur $[0,1[$.
Considérons la fonction $\begin{array}[t]{lrcl}F:& [0,1[ & \longrightarrow & \R \\& x & \longmapsto & F(x)=\displaystyle\int_0^x{\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t}. \\\end{array}$
Nous avons $F(x)=\bigl[\arcsin t\bigr]_0^x=\arcsin(x)$.

Calculons $\lim\limits_{x\to 1}\,F(x)$.
Nous obtenons $\lim\limits_{x\to 1}\,F(x)=\dfrac{\pi}{2}$. Nous obtenons donc : $$\int_0^1{\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t}=\dfrac{\pi}{2}.$$

Soit $\varphi$ une bijection de classe $C^1$ de ${]\alpha,\beta[}$ sur $\varphi\bigl({]\alpha,\beta[}\bigr)$.
On note $a=\lim\limits_{t\to \alpha^+}\,\varphi(t)$ et $b=\lim\limits_{t\to \beta^-}\,\varphi(t)$.
Soit $f$ une fonction continue sur ${]a,b[}$ ou ${]b,a[}$.Alors les intégrales généralisées $\displaystyle\int_a^b{f(x)dx}$ et $\displaystyle\int_\alpha^\beta{f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,\mathrm{d}t}$ sont de même nature, et si elles convergent, elles sont égales.

Montrer que l’intégrale généralisée $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\dfrac{1}{(1+t^2)^2}\,\mathrm{d}t}$ converge en la calculant avec le changement de variable $t=\tan(\theta)$.

Soit l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_a^b{u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t}$ convergente avec $u$ et $v$ deux fonctions de ${]a,b[}$ dans $\R$ de classe $C^1$. Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $[x_1,x_2]\subset {]a,b[}$.
Nous calculons $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}{u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t}$ en utilisant une intégration par partie.Puis nous faisons tendre $x_1$ vers $a$ (par valeur supérieure) et $x_2$ vers $b$ (par valeur inférieure).
Nous avons alors : $$\int_a^b{u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{\substack{x_1\to a^+ \\x_2\to b^-}}\,\int_{x_1}^{x_2}{u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t}$$

Calculons l’intégrale généralisée $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}{te^{-t}\,\mathrm{d}t}$. La fonction $f:t\mapsto te^{-t}$ est continue sur ${[0,+\infty[}$.
Soit $x$ un réel tel que $[0,x]\subset {[0,+\infty[}$.
Posons $u$ et $v$ les fonctions vérifiant : $$\begin{align*}&u(t)=t, &&u'(t)=1, \\&v(t)=-e-t, &&v'(t)=e-t.\end{align*}$$ Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[0,x]$. Nous effectuons une intégration par partie non pas sur $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}{te^{-t}\,\mathrm{d}t}$ mais sur $\displaystyle\int_0^x{te^{-t}\,\mathrm{d}t}$.
Nous obtenons : $$\int_0^x{te^{-t}\,\mathrm{d}t}=\left[-te^{-t}\right]_0^x-\int_0^x{-e^{-t}\,\mathrm{d}t}.$$ Nous calculons la limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et nous obtenons $I=1$.