Méthodes de calcul | eMaths – Plateforme de cours

Que ce soit le déterminant d’une famille de vecteurs ou d’un endomorphisme, on le calcule en général en utilisant l’écriture matricielle. Nous étudions dans cette partie les différentes façons de calculer un déterminant de matrice.

Introduisons la notation suivante qui s’applique aux matrices carrées de toute taille.

Notation

Le déterminant d’une matrice $A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix}$ se note : $\det(A)=\begin{vmatrix} a & b & c \\ d&e&f\\g&h&i \end{vmatrix}$ .

Matrices de taille 2 et 3

Pour des matrices de taille $n=2$ ou $3$ , on peut utiliser la définition matricielle.

MéthodeMatrice

$2\times 2$

$\begin{vmatrix} a & b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc.$

Dans le cas $n=3$ seulement, on peut utiliser la méthode suivante, dite règle de Sarrus.

MéthodeMatrice

$3\times 3$ - Règle de Sarrus

Elle permet de déterminer rapidement le signe attribué à chaque produit de 3 coefficients.
Les 3 produits des diagonales descendantes ont un signe $+$ et les 3 produits des diagonales montantes ont un signe $-$ . $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d&e&f\\g&h&i \end{vmatrix}=aei+dhc+gbf-gec-dbi-ahf.$

À partir de $n=4$ , il n’y a plus de règles aussi simples que celles de Sarrus et la formule de la définition est très lourde à utiliser.

Matrices triangulaires et diagonales

Dans ce cas, le déterminant s’obtient immédiatement.

Propriété

Le déterminant d’une matrice diagonale ou d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux (exemple $\begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ b&c&0\\d&e&f \end{vmatrix}=acf.$ ).

Cela se généralise aux matrices diagonales et triangulaires par blocs : le déterminant d’une matrice diagonale ou triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux. $\det\left(\begin{array}{c|c} A & B \\ \hline 0 & D \end{array}\right)=\det(A)\det(D).$

Voir la preuve

Ces résultats découlent de la définition du déterminant. Si la matrice est triangulaire, le seul produit de coefficients non nuls situés sur des lignes et colonnes différentes est le produit des termes diagonaux. Tous les autres produits de la somme sont nuls et on obtient le résultat.
Ce raisonnement s’adapte pour les matrices triangulaires par blocs.

Exemple

$\begin{align*}\begin{vmatrix}7&3&0&0&0 \\4&1&0&0&0 \\0&0&8&0&0 \\0&0&9&4&2 \\0&0&3&1&3\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}7&3 \\4&1\end{vmatrix}\times\begin{vmatrix}8&0&0 \\9&4&2 \\3&1&3\end{vmatrix} \\&=\begin{vmatrix}7&3 \\4&1\end{vmatrix}\times 8\times\begin{vmatrix}4&2 \\1&3\end{vmatrix} \\\\&=(7\times 1-4\times 3)\times 8\times (4\times 3-1\times 2) \\&=-400.\end{align*}$

Exemple

$\begin{align*}\begin{vmatrix}1&2&3&0&0&0 \\0&4&5&0&0&0 \\0&0&6&0&0&0 \\0&0&0&7&0&0 \\0&0&0&8&9&0 \\0&0&0&10&11&12\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}1&2&3 \\0&4&5 \\0&0&6\end{vmatrix}\times \begin{vmatrix}7&0&0 \\8&9&0 \\10&11&12\end{vmatrix} \\\\&=1\times 4\times 6 \times 7 \times 9 \times 12 \\&=18144.\end{align*}$

Opérations sur les lignes et les colonnes

Méthode

Rappelons que le déterminant d’une matrice est aussi le déterminant de ses vecteurs colonnes. Or le déterminant d’une famille de vecteurs ne change pas si on ajoute à l’un d’eux une combinaison linéaire des autres. Ainsi le déterminant d’une matrice reste inchangé si on ajoute à une de ses colonnes une combinaison linéaire des autres colonnes.

De même, le déterminant d’une matrice change de signe si on échange deux colonnes de la matrice. Et si on multiplie une colonne par un scalaire, cela multiplie le déterminant par ce même scalaire.

Enfin, comme le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de sa transposée, tout ce que l’on vient de dire fonctionne également avec les lignes de la matrice.

Exemple

Combinaison de colonnes :
$\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 4&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3&1 \end{vmatrix}.$ En remplaçant la colonne $C_1$ par $C_1-C_2$ : $C_1\leftarrow C_1-C_2$ .
Échange de colonnes :
$\begin{vmatrix} 2 & 3 &8 \\ 0&1&5\\4&9&7 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 8 & 3 &2 \\ 5&1&0\\7&9&4 \end{vmatrix}.$ En échangeant les colonnes 1 et 3 : $C_1\leftrightarrow C_3$ .
Factorisation de colonnes ou de lignes :
$\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 3&1 \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1&1 \end{vmatrix},$ ou encore $\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 3&1 \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3&1 \end{vmatrix}.$ En factorisant 3 dans la 1ère colonne ou 1ère ligne.
Combinaison de lignes :
$\begin{vmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4&6&7\\5&2&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 7 & 0 &0 \\ 4&6&7\\5&2&2 \end{vmatrix}.$ En remplaçant la ligne $L_1$ par $L_1-L_2+2L_3$ : $L_1\leftarrow L_1-L_2+2L_3$ .
On voit sur ce dernier exemple l’intérêt que peut avoir une telle manipulation. La matrice obtenue ici est triangulaire par blocs et on peut facilement calculer son déterminant. Ainsi : $\begin{vmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4&6&7\\5&2&2 \end{vmatrix}=7\times\begin{vmatrix} 6&7\\2&2 \end{vmatrix}=7\times(6\times2-2\times 7)=-14.$

Toujours en utilisant les propriétés du déterminant d’une famille de vecteurs, on a la propriété suivante :

Propriété

Si les colonnes ou les lignes d’une matrice forment une famille liée, le déterminant de la matrice est nul.
Autrement dit, s’il existe une relation linéaire entre les colonnes ou entre les lignes de la matrice, son déterminant est nul.

Développement par rapport à une ligne ou une colonne

PropriétéDéveloppement par rapport à une colonne

Soit $A=(a_{ij})$ une matrice de taille $n$ . Pour tous $i,j$ notons $A_{ij}$ la sous-matrice de $A$ obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ . Alors, pour $j$ fixé $\det(A)=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).$

Cette formule permet de ramener le calcul d’un déterminant de taille $n$ à $n$ déterminants de taille $n-1$ . On dit qu’on a développé $A$ par rapport à sa $j$ -ème colonne.
On peut faire de même avec les lignes.

PropriétéDéveloppement par rapport à une ligne

Pour $i$ fixé, développer $A$ par rapport à sa $i$ -ème ligne signifie calculer $\det(A)=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).$

Remarque

Ces formules font intervenir le terme $(-1)^{i+j}$ . Pour se souvenir quel signe attribuer à un coefficient de la matrice lors du développement selon une ligne ou une colonne, il suffit de retenir que le signe attribué à $a_{11}$ est toujours $+$ , les autres signes sont ensuite alternés sur la matrice : $\begin{pmatrix}+&-&+&-&\cdots\\ -&+&-&+&\cdots\\+&-&+&-&\cdots\\-&+&-&+&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}$

Voir l'explication

Les formules viennent de la définition du déterminant d’une matrice. Pour les comprendre, reprenons l’expression du déterminant d’une matrice de taille 3 : $\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}.$ Le coefficient $a_{11}$ y est multiplié par $(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})$ . On reconnaît le déterminant de la sous-matrice $\begin{pmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ . De même $a_{21}$ est multiplié par $(-a_{12}a_{33}+a_{32}a_{13})=-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}$ et $a_{31}$ est multiplié par $(a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13})=\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22}&a_{23} \end{vmatrix}.$ Finalement : $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} \\a_{21} & a_{22}&a_{23} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{21}\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{31}\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}.$ On dit qu’on a développé le déterminant de $A$ par rapport à sa première colonne. On remarque que la sous-matrice associée au coefficient $a_{i1}$ est la sous-matrice de $A$ obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $1$ de $A$ .

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix}1&0&2&4 \\2&1&4&1 \\0&2&3&0 \\3&4&6&2\end{pmatrix}$ .Nous constatons qu’il y a deux $0$ sur la 3ème ligne. Pour calculer $\det(A)$ , nous développons par rapport à cette ligne : $\begin{align*}\begin{vmatrix}1&0&2&4 \\2&1&4&1 \\0&2&3&0 \\3&4&6&2\end{vmatrix}&=\hphantom{-}0\begin{vmatrix}0&2&4 \\1&4&1 \\4&6&2\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1&2&4 \\2&4&1 \\3&6&2\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}1&0&4 \\2&1&1 \\3&4&2\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}1&0&2 \\2&1&4 \\3&4&6\end{vmatrix} \\&=-2\begin{vmatrix}1&2&4 \\2&4&1 \\3&6&2\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}1&0&4 \\2&1&1 \\3&4&2\end{vmatrix}.\end{align*}$ Comme les 2 premières colonnes de $\begin{pmatrix}1&2&4 \\2&4&1 \\3&6&2\end{pmatrix}$ sont colinéaires, son déterminant est nul. Il reste un déterminant que nous calculons en développant selon la 2ème colonne : $\begin{align*}\det(A)&=3\left( -0\begin{vmatrix}2&1 \\3&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&4 \\3&2\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}1&4 \\2&1\end{vmatrix}\right) \\\\&=3\bigl(0+(1\times 2-3\times 4)-4(1\times 1-2\times 4)\bigr)=56.\end{align*}$

Synthèse

Voici quelques exemples utilisant l’ensemble des méthodes précédentes.

Exemple

Calcul du déterminant : $D=\begin{vmatrix}-2&\hphantom{-}2&-4&\hphantom{-}2&\hphantom{-}2\\\hphantom{-}1&\hphantom{-}1&\hphantom{-}2&-2&\hphantom{-}2\\\hphantom{-}3&-6&\hphantom{-}12&\hphantom{-}2&\hphantom{-}1\\\hphantom{-}1&-1&\hphantom{-}4&\hphantom{-}4&-1\\\hphantom{-}9&-10&\hphantom{-}21&-5&-2\end{vmatrix}.$

Voir la solution

Remarquons déjà qu’on peut factoriser 2 dans la première ligne. Nous allons ensuite faire apparaître des 0 sur cette ligne en utilisant la première colonne avec les opérations suivantes : $C_2 \leftarrow C_2+C_1,\ C_3 \leftarrow C_3-2C_1,\ C_4 \leftarrow C_4+C_1,\ C_5 \leftarrow C_5+C_1.$ La matrice obtenue sera alors triangulaire par blocs.
$\begin{align*}D=2\begin{vmatrix}-1&\hphantom{-}1&-2&\hphantom{-}1&\hphantom{-}1\\\hphantom{-}1&\hphantom{-}1&\hphantom{-}2&-2&\hphantom{-}2\\\hphantom{-}3&-6&\hphantom{-}12&\hphantom{-}2&\hphantom{-}1\\\hphantom{-}1&-1&\hphantom{-}4&\hphantom{-}4&-1\\\hphantom{-}9&-10&\hphantom{-}21&-5&-2\end{vmatrix}&=\hphantom{-}2\begin{vmatrix}-1&\hphantom{-}0&0&\hphantom{-}0&0\\\hphantom{-}1&\hphantom{-}2&0&-1&3\\\hphantom{-}3&-3&6&\hphantom{-}5&4\\\hphantom{-}1&\hphantom{-}0&2&\hphantom{-}5&0\\\hphantom{-}9&-1&3&\hphantom{-}4&7\end{vmatrix} \\\\&=-2\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&0&-1&3\\-3&6&\hphantom{-}5&4\\\hphantom{-}0&2&\hphantom{-}5&0\\-1&3&\hphantom{-}4&7\end{vmatrix}.\end{align*}$ Il y a deux $0$ sur la 3ème ligne et cela incite à développer par rapport à cette ligne : $D=-2\left(-2\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&-1&3\\-3&\hphantom{-}5&4\\-1&\hphantom{-}4&7\end{vmatrix}+5\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&0&3\\-3&6&4\\-1&3&7\end{vmatrix}\right).$ On remarque que les lignes de la première matrice ci-dessus sont liées : $L_1+L_2=L_3$ . Son déterminant est donc nul. Cette remarque permet aussi de simplifier la seconde matrice en faisant l’opération $L_1 \leftarrow L_1+L_2-L_3$ . Il reste $D=-10\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&0&3\\-3&6&4\\-1&3&7\end{vmatrix}=-10\begin{vmatrix}\hphantom{-}0&3&0\\-3&6&4\\-1&3&7\end{vmatrix}.$ Développons alors par rapport à la première ligne. $D=30\begin{vmatrix}-3&4\\-1&7\end{vmatrix}=30\bigl(-3\times 7-4\times(-1)\bigr)=-510.$

On comprend avec ce premier exemple que la façon de calculer un déterminant n’est certainement pas unique. L’idéal est de composer astucieusement avec les différentes règles de calcul en fonction de l’allure de la matrice.
Dans les exemples suivants, nous allons proposer des façons de procéder plus systématiques qu’ici.

Exemple

Calculons le déterminant $D$ suivant : $D=\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&\hphantom{-}3&\hphantom{-}1&-2\\\hphantom{-}4&\hphantom{-}1&-5&\hphantom{-}7\\\hphantom{-}3&\hphantom{-}8&\hphantom{-}4&\hphantom{-}2\\-5&-1&\hphantom{-}6&\hphantom{-}2\end{vmatrix}.$

Voir la solution

Une méthode générale pour calculer un déterminant est de procéder comme dans la méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice : on utilise des opérations sur les lignes (ou les colonnes) de la matrice pour la transformer en une matrice triangulaire. Si on procède correctement, le déterminant reste inchangé à chaque étape et le déterminant d’une matrice triangulaire est trivial.
Faisons apparaître des $0$ sur la première ligne en effectuant les opérations suivantes : $C_2\leftarrow C_2-\tfrac{3}{2}C_1,~~C_3\leftarrow C_3-\tfrac{1}{2}C_1,~~C_4\leftarrow C_4+C_1.$ Chacune de ces opérations est indépendante des autres et laisse le déterminant invariant. On obtient $D=\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}4&-5&-7&\hphantom{-}11\\\hphantom{-}3&\hphantom{-}\frac{7}{2}&\hphantom{-}\frac{5}{2}&\hphantom{-}5\\-5&\hphantom{-}\frac{13}{2}&\hphantom{-}\frac{17}{2}&-3\end{vmatrix}.$ Faisons apparaître des $0$ sur la deuxième ligne avec les opérations : $C_3\leftarrow C_3-\frac{7}{5}C_2,~C_4\leftarrow C_4+\frac{11}{5}C_2.$ On obtient : $D=\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}4&-5&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}3&\hphantom{-}\frac{7}{2}&-\frac{12}{5}&\hphantom{-}\frac{127}{10}\\-5&\hphantom{-}\frac{13}{2}&-\frac{3}{5}&\hphantom{-}\frac{113}{10}\end{vmatrix}.$ Avant de continuer, on peut alléger la matrice en factorisant $\frac{1}{5}$ et $\tfrac{1}{10}$ dans les colonnes 3 et 4. Puis, on effectue ensuite l’opération $C_4\leftarrow C_4+\frac{127}{12}C_3$ . $D=\frac{1}{50}\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}4&-5&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}3&\hphantom{-}\frac{7}{2}&-12&\hphantom{-}127\\-5&\hphantom{-}\frac{13}{2}&-3&\hphantom{-}113\end{vmatrix}=\frac{1}{50}\begin{vmatrix}\hphantom{-}2&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}4&-5&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}3&\hphantom{-}\frac{7}{2}&-12&\hphantom{-}0\\-5&\hphantom{-}\frac{13}{2}&-3&\hphantom{-}\frac{325}{4}\end{vmatrix}.$ Comme cette dernière matrice est triangulaire, son déterminant est le produit de ses coefficients diagonaux. On peut conclure : $D=\frac{1}{50}\times 2 \times (-5) \times (-12) \times \frac{325}{4}=195.$
Il est important de noter que le déterminant d’une matrice est une somme de produits de ses coefficients. Comme la matrice considérée est à coefficients entiers, il est normal que son déterminant soit un entier. Si cela n’avait pas été le cas, nous aurions pu conclure à une erreur dans notre calcul.

Dans l’exemple précédent, on aurait pu au fur et à mesure des calculs réduire la taille de la matrice considérée en développant selon la ligne où on a fait apparaître les 0. C’est la méthode la plus classique : on utilise des opérations sur les lignes ou les colonnes pour faire apparaître des 0 puis on développe selon la ligne ou colonne manipulée pour réduire la taille de déterminant à calculer.
C’est ce que nous allons faire dans l’exemple suivant.

Exemple

Calculons le déterminant $D=\begin{vmatrix}\hphantom{-}1&\hphantom{-}2&-1&1&0\\\hphantom{-}0&\hphantom{-}3&\hphantom{-}7&1&2\\-1&-2&\hphantom{-}6&3&3\\\hphantom{-}2&\hphantom{-}5&-2&4&9\\\hphantom{-}0&\hphantom{-}3&\hphantom{-}4&1&7\end{vmatrix}.$

Voir la solution

Comme il y a déjà des 0 sur la première colonne, nous allons en faire apparaître d’autres en utilisant la première ligne. On effectue les opérations $L_3\leftarrow L_3+L_1$ et $L_4\leftarrow L_4-2L_1$ puis on développe par rapport à la première colonne : $D=\begin{vmatrix}1&2&-1&1&0\\0&3&\hphantom{-}7&1&2\\0&0&\hphantom{-}5&4&3\\0&1&\hphantom{-}0&2&9\\0&3&\hphantom{-}4&1&7\end{vmatrix}=1\times \begin{vmatrix}3&7&1&2\\0&5&4&3\\1&0&2&9\\3&4&1&7\end{vmatrix}.$ Pour simplifier les calculs, on peut amener un 1 en haut à gauche de la matrice en effectuant l’échange de colonnes $C_1\leftrightarrow C_3$ . Cela change le signe du déterminant : $D=-\begin{vmatrix}1&7&3&2\\4&5&0&3\\2&0&1&9\\1&4&3&7\end{vmatrix}.$ On peut ensuite faire apparaître des 0 sur la première ligne avec les opérations suivantes : $C_2\leftarrow C_2-7C_1, C_3\leftarrow C_3-3C_1, C_4\leftarrow C_4-2C_1.$ On développe ensuite selon la première colonne : $\begin{align*}D=-\begin{vmatrix}1&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\4&-23&-12&-5\\2&-14&-5&\hphantom{-}5\\1&-3&\hphantom{-}0&\hphantom{-}5\end{vmatrix}&=-1\begin{vmatrix}-23&-12&-5\\-14&-5&\hphantom{-}5\\-3&\hphantom{-}0&\hphantom{-}5\end{vmatrix} \\&=-5\begin{vmatrix}-23&-12&-1\\-14&-5&\hphantom{-}1\\-3&\hphantom{-}0&\hphantom{-}1\end{vmatrix}.\end{align*}$ Plutôt que de continuer de la même manière, on peut maintenant se contenter d’ajouter un $0$ sur la dernière ligne où il y en a déjà un pour obtenir une matrice triangulaire par blocs. On effectue l’opération $C_1\leftarrow C_1+3C_3$ : $D=-5\begin{vmatrix}-26&-12&-1\\-11&-5&\hphantom{-}1\\\hphantom{-}0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}1\end{vmatrix}=-5\begin{vmatrix}-26&-12\\-11&-5\end{vmatrix}\times 1.$ On peut maintenant conclure : $D=-5\times\bigl((-26)\times(-5)-(-11)\times (-12)\bigr)=10.$

Terminons par un exemple de déterminant dont la matrice est de tailleinconnue.

Exemple

Pour $n\in\N^*$ , notons $M_n$ la matrice de taille $n$ $\begin{pmatrix}2&1&1&1&1&\cdots&1 \\2&3&2&2&2&\cdots&2 \\2&3&4&3&3&\cdots&3 \\2&3&4&5&4&\cdots&4 \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots &\vdots \\2&3&4&5&\cdots&n &n\!-\!1 \\2&3&4&5&\cdots&n&n\!+\!1\end{pmatrix}.$

Voir la solution

On souhaite calculer le déterminant de $M_n$ . Essayons de nous ramener à une matrice triangulaire. Pour faire apparaître des $0$ sur la 1ère colonne, on remplace chaque ligne $L_i$ pour $i\geqslant 2$ par $L_i-L_1$ : $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1&\cdots&1 \\2&3&2&2&2&\cdots&2 \\2&3&4&3&3&\cdots&3 \\2&3&4&5&4&\cdots&4 \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots &\vdots \\2&3&4&5&\cdots&n &n\!-\!1 \\2&3&4&5&\cdots&n&n\!+\!1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&1&1&1&\cdots&1 \\0&2&1&1&1&\cdots&1 \\0&2&3&2&2&\cdots&2 \\0&2&3&4&3&\cdots&3 \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots& \ddots&\vdots \\0&2&3&4&\cdots&n\!-\!1 &n\!-\!2 \\0&2&3&4&\cdots&n\!-\!1&n\end{vmatrix}.$ La matrice obtenue est triangulaire par blocs et donc $\det(A)=2\times \begin{vmatrix}2&1&1&1&\cdots&1 \\2&3&2&2&\cdots&2 \\2&3&4&3&\cdots&3 \\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots &\vdots \\2&3&4&\cdots&n\!-\!1 &n\!-\!2 \\2&3&4&\cdots&n\!-\!1&n\end{vmatrix}.$ Il est à noter que cela revient aussi à développer selon la première colonne.On peut continuer de même avec ce nouveau déterminant de taille $n-1$ . Mais plus simplement, on reconnaît la matrice initiale mais de taille inférieure. On obtient ainsi une relation de récurrence : $\det(M_n)=2\det(M_{n-1}).$ On reconnait une suite géométrique. Il ne reste plus qu’à initialiser la récurrence.
Pour $n=1$ et $n=2$ , $M_1=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}$ et $M_2=\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}$ .
Donc $\det(M_1)=2$ et on a bien $\det(M_2)=4=2\det(M_1)$ .On peut conclure : $\det(M_n)=2^n.$

Chapitre 18Déterminants

ThéoriesMéthodes de calcul

Matrices de taille 2 et 3

Matrices triangulaires et diagonales

Opérations sur les lignes et les colonnes

Développement par rapport à une ligne ou une colonne

Synthèse