Limite à gauche, limite à droite | eMaths

Définition

On dit que $f$ admet $\ell$ (fini ou infini) comme limite à gauche en $x_0$ si la restriction de $f$ à $]-\infty,x_0]$ admet $\ell$ comme limite en $x_0$ .
On note alors : $\lim\limits_{x\to {x_0}^-}f(x)=\ell\quad\text{ou}\quad\lim\limits_{\begin{align*}x\to {x_0} \\x\le {x_0} \\\end{align*}}f(x)=\ell.$
On définit de même la limite à droite en $x_0$ avec la restriction à $[x_0,+\infty[$ .
On la note : $\lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x)=\ell\quad\text{ou}\quad\lim\limits_{\begin{align*}x\to {x_0} \\x\ge {x_0} \\\end{align*}}f(x)=\ell.$

Remarque

Il est clair que si $f$ admet $\ell$ comme limite en $x_0$ , $f$ admet $\ell$ comme limite à gauche et à droite en $x_0$ .
Réciproquement, si $f$ admet $\ell$ comme limite à gauche et à droite en $x_0$ , alors $f$ admet $\ell$ comme limite en $x_0$ .
Dans certains calculs de limite, nous ajouterons que $x$ tend vers x_0 en restant distinct de x_0. Nous noterons alors ces limites : $\lim\limits_{\begin{aligned} x&\to {x_0} \\ x&\gt {x_0}\end{aligned}}f(x)\quad\text{ou}\quad\lim\limits_{\begin{aligned} x&\to x_0^+\\ x&\ne {x_0}\end{aligned}}f(x)\quad\text{ou}\quad\lim\limits_{\begin{aligned} x&\to {x_0} \\ x&\lt {x_0}\end{aligned}}f(x)\quad\text{ou}\quad\lim\limits_{\begin{aligned} x&\to x_0^-\\ x&\ne {x_0}\end{aligned}}.$

Exemple

Soit $E$ la fonction partie entière.
Etudions le comportement de cette fonction en 0.

D’après le graphe, nous allons étudier les limites à droite et à gauche de $E$ en $0$ .

Pour $x$ élément de $[0,1[$ , $E(x)=0$ . Ainsi, $\lim\limits_{\begin{align*}x\to 0 \\x\ge 0 \\\end{align*}}E(x)=0$ .
Pour $x$ élément de $[-1,0[$ , $E(x)=-1$ . Ainsi, $\lim\limits_{\begin{align*}x\to 0 \\x\lt 0 \\\end{align*}}E(x)=-1$ .

Pour l’étude de la limite en $0$ à gauche, nous avons choisi de prendre dans la définition de limite $x\ne 0$ afin d’avoir l’existence de la limite qui reflète bien ce que nous voyons sur le graphe.
Si nous avions pris la définition $\lim\limits_{\begin{align*}x\to 0 \\x\le 0 \\\end{align*}}E(x)$ , alors cette dernière limite n’existerait pas.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .

Nous avons $\lim\limits_{\begin{align*}x\to 0 \\x\gt 0 \\\end{align*}}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{\begin{align*}x\to 0 \\x\lt 0 \\\end{align*}}f(x)=-\infty$ .
Comme dans notre exemple, $f$ n’est pas définie en $0$ , nous pouvons aussi écrire : $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-\infty.$

Exemple

Soit la fonction $f$ dont le graphe est :Nous pouvons conjecturer que : $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=10,\ \lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=0,\ \lim\limits_{x\to 4^-}f(x)=-2,\ \lim\limits_{x\to 4^+}f(x)=4.$

Chapitre 6Limites

ThéoriesLimite à gauche, limite à droite