Ce sont des intégrales généralisées qui vont nous servir d’intégrales types pour des critères de comparaison.
Il s’agit d’intégrale des fonctions $t\mapsto \dfrac{1}{t^\alpha}$ avec $\alpha$ un réel strictement positif.
Ces fonctions sont continues sur $]0,+\infty[$. Nous avons donc un problème de convergence en $0$ et en $+\infty$, problème que nous allons traiter séparément.
Soit $a$ un réel strictement positif.\[\int_a^{+\infty}{\dfrac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}}\text{ converge si et seulement si $\alpha\gt 1$.}\]
- Si $\alpha=1$\[\int_a^{+\infty}{\dfrac{\mathrm{d}t}{t}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\,\int_a^x{\dfrac{\mathrm{d}t}{t}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\,\bigl(\ln(x)-\ln(a)\bigr)=+\infty.\]Donc l’intégrale diverge vers $+\infty$.
- Si $\alpha\neq 1$\[\int_a^{+\infty}{\dfrac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\,\int_a^x{\dfrac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\,\biggl(\left[-\dfrac{1}{\alpha-1}\dfrac{1}{t^{\alpha-1}}\right]_a^x\biggr).\]
- Si $\alpha\gt 1$, l’intégrale converge.
- Si $\alpha\lt 1$, l’intégrale diverge vers $+\infty$.
D’où le résultat.
Soit $b$ un réel strictement positif.\[\int_0^b{\dfrac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}}\text{ converge si et seulement si $\alpha\lt 1$.}\]
Similaire à la précédente.
Soit $c$ un réel strictement supérieur au réel a.\[\int_a^c{\dfrac{\mathrm{d}t}{(t-a)^\alpha}}\text{ converge si et seulement si $\alpha\lt 1$.}\]
Similaire à la précédente.