Avant de définir les notions de noyau et d’image, nous allons démontrer des propriétés des images directes et réciproques d’une application linéaire.
Soit $f$ un élément de $\mathscr{L}(E,F)$ et soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Alors, $f(G)=\bigl\{f(u)\,\bigm\vert\, u\in G\bigr\}$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
- $G$ étant un sous-espace vectoriel de $E$, $0_E$ est élément de $G$.
Or, $f(0_E)=0_F$. Donc, $0_F$ est élément de $f(G)$.Nous avons ainsi montré que $f(G)$ est non vide.- Soient $v_1$ et $v_2$ deux vecteurs de $f(G)$ et soient $\alpha$ et $\beta$ deux éléments de $\mathbb{K}$.
Montrons que $\alpha v_1+\beta v_2$ est élément de $f(G)$.
Comme $v_1$ est élément de $f(G)$, il existe $u_1$ élément de $G$ tel que $v_1=f(u_1)$.
De même, comme $v_2$ est élément de $f(G)$, il existe $u_2$ élément de $G$ tel que $v_2=f(u_2)$.
Nous avons donc :\[\alpha v_1+\beta v_2=\alpha f(u_1)+\beta f(u_2).\]Or, $f$ est une application linéaire. D’où : $\alpha f(u_1)+\beta f(u_2)=f(\alpha u_1+\beta u_2)$.
Or, $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Comme $u_1$ et $u_2$ sont élément de $G$, $\alpha u_1+\beta u_2$ est aussi élément de $G$.
Nous avons ainsi montré que $\alpha v_1+\beta v_2$ est de la forme $f(u)$ avec $u$ élément de $G$, c’est-à-dire $\alpha v_1+\beta v_2$ est élément de $f(G)$.Nous avons ainsi démontré que $f(G)$ est stable par combinaison linéaire.
Nous concluons que $f(G)$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles, $f$ une application de $E$ dans $F$ et $H$ une partie de $F$.
L’image réciproque de $H$ par $f$ est $f^{-1}(H)=\bigl\{u\in E\,\bigm\vert\, f(u)\in H\bigr\}$.
Attention car la notion d’image réciproque ne prévaut en rien la bijectivité de l’application. Que $f$ soit ou non bijective, nous pouvons toujours définir l’image réciproque d’une partie de l’ensemble d’arrivée.
Animation prochainement disponibleSoient $f$ un élément de $\mathscr{L}(E,F)$ et $H$ un sous-espace vectoriel de $F$.
Alors, $f^{-1}(H)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- $H$ étant un sous-espace vectoriel de $F$, $0_F$ est élément de $H$.
Or, $f(0_E)=0_F$. Donc, $0_E$ est élément de $f^{-1} (H)$.
Nous avons ainsi montré que $f^{-1}(H)$ est non vide.- Soient $u_1$ et $u_2$ deux vecteurs de $f^{-1}(H)$ et soient $\alpha$ et $\beta$ deux éléments de $\mathbb{K}$.
Montrons que $\alpha u_1+\beta u_2$ est élément de $f^{-1}(H)$.
Comme $u_1$ est élément de $f^{-1}(H)$, il existe $v_1$ élément de $H$ tel que $v_1=f(u_1)$.
De même, comme $u_2$ est élément de $f^{-1}(H)$, il existe $v_2$ élément de $H$ tel que $v_2=f(u_2)$.
Nous avons donc : $\alpha v_1+\beta v_2=\alpha f(u_1)+\beta f(u_2)$.
Or, $f$ est une application linéaire. D’où : $\alpha f(u_1)+\beta f(u_2)=f(\alpha u_1+\beta u_2)$.
Or, $H$ est un sous-espace vectoriel de $F$. Comme $v_1$ et $v_2$ sont élément de $H$, $\alpha v_1+\beta v_2$ est aussi élément de $H$.
Nous avons ainsi montré que $\alpha u_1+\beta u_2$ est élément de $f^{-1}(H)$.Nous avons ainsi démontré que $f^{-1}(H)$ est stable par combinaison linéaire.
Nous concluons que $f^{-1}(H)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.