Propriété
Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes et $n$ un entier naturel non nul.\[(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.\]
Voir la preuve
Cette formule se montre par récurrence sur $n$.
- En effet, elle est vraie pour $n=0$ ou $n=1$ (Fondation).
- Si elle est vraie au rang $n$, alors :\begin{align*}{(a+b)}^{n+1}&=(a+b)\sum\limits_{p=0}^n{\binom{n}{p}a^{n-p}b^p} \\&=\sum\limits_{p=0}^n\binom{n}{p}a^{n-p+1}b^p+\sum\limits_{p=0}^n\binom{n}{p}a^{n-p}b^{p+1} \\&\textit{(On extrait les termes de degré $n+1$)} \\&=\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum\limits_{p=1}^n\binom{n}{p}a^{n-p+1}b^p+\sum\limits_{p=0}^{n-1}\binom{n}{p}a^{n-p}b^{p+1}+\binom{n}{n}b^{n+1} \\&=a^{n+1}+\sum\limits_{p=1}^n{\binom{n}{p}a^{n-p+1}b^p}+\sum\limits_{p=1}^n{\binom{n}{p-1}a^{n-p+1}b^p}+b^{n+1} \\&=a^{n+1}+\sum\limits_{p=1}^n{\left(\binom{n}{p}+\binom{n}{p-1} \right)a^{n-p+1}b^p}+b^{n+1} \\&=\binom{n+1}{0}a^{n+1}+\sum\limits_{p=1}^n{\binom{n+1}{p}a^{n-p+1}b^p}+\binom{n+1}{n+1}b^{n+1} \\&=\sum\limits_{p=0}^{n+1}{\binom{n+1}{p}a^{n+1-p}b^p}\end{align*}D’où l’hérédité.
- Donc, la formule $\displaystyle (a+b)n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^ka^{n-k}b^k}$ est démontrée pour tout $n$ entier naturel non nul.
Exemple
Voici quelques exemples de calculs.
- $(a+b)^n$\begin{align*}(a+b)^1&=1a^1b^0+1a^0b^1 \\(a+b)^2&=1a^2b^0+2a^1b^1+1a^0b^2 \\(a+b)^3&=1a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+1a^0b^2 \\\ldots&\end{align*}
- $(a-b)^n$\begin{align*}(a-b)^1&=1a^1b^0-1a^0b^1 \\(a-b)^2&=1a^2b^0-2a^1b^1+1a^0b^2 \\(a-b)^3&=1a^3b^0-3a^2b^1+3a^1b^2-1a^0b^2 \\\ldots&\end{align*}
Une autre application consiste en la linéarisation (voir le chapitre sur les nombres complexes).