En 1755, Euler publie un traité de calcul différentiel et intégral (complété en 1768 : Institutiones calculi integralis) où l’on $y$ rencontre les « fonctions d’Euler » ou fonctions eulériennes dont la plus connue, la fonction $\Gamma$.
La fonction $\Gamma$ (le $G$ grec : gamma, ainsi nommée par Legendre) définie pour tout nombre $x\gt 0$ par :\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}{t^{x-1}e^{-t}}\,\mathrm{d}t.\]
Si $n$ est entier naturel non nul, alors :\[\Gamma(n)=(n-1)!\]
- Pour trouver l’ensemble de définition de $\Gamma$, il faut étudier à quelles conditions sur $x$ l’intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\e^{-t}\,\mathrm{d}t}$ converge.La fonction $t\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ est continue sur\[\begin{cases}&[0,+\infty[&\text{si $x\ge 1$} \\&]0,+\infty[&\text{sinon.} \\\end{cases}\]On doit donc distinguer deux cas :
- $-x\ge 1$ :
On a un problème en $+\infty$.
Or on a :\[t^2\times t^{x-1}\e^{-t}=t^{x+1}\e^{-t}\xrightarrow{t\to+\infty}0,\]donc d’après le critère de Riemann, cette fonction est intégrable au voisinage de $+\infty$.
On en déduit donc que si $x\ge 1$, alors l’intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\e^{-t}\,\mathrm{d}t}$ converge. - $-x\lt 1$ :
On a un problème en $+\infty$ et en $0$.
En $+\infty$, on a la même chose que précédemment, à savoir convergence de l’intégrale.
En $0$, on a \[t^{x-1}\e^{-t}\underset{0}{\overset{t}{\sim}}\,t^{x-1}=\frac{1}{t^{1-x}},\]et cette fonction est intégrable en $0$ si et seulement si $1-x\lt 1\iff 0\lt x$.
On en déduit donc que si $0\lt x\lt 1$, alors l’intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\e^{-t}\,\mathrm{d}t}$ converge.
- $-x\ge 1$ :
- Montrons que pour tout réel $x\gt 0$, $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$.
Soit $x\gt 0$, on a :\[\Gamma(x+1)=\int_0^{+\infty}{t^x\e^{-t}\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{B\to \infty}\,\int_0^B{t^xe^{-t}\,\mathrm{d}t}.\]Or $t\mapsto t^x$ et $t\mapsto -\e^{-t}$ sont de classe $C^1$. D’où :\[\begin{align*}\int_0^B{t^x\e^{-t}\,\mathrm{d}t}&\underset{IPP}{=}\bigl[t^x\times \left(-\e^{-t}\right)\bigr]_0^B-\int_0^B{xt^{x-1}\left(-\e^{-t}\right)\,\mathrm{d}t} \\&=-B^x\e^{-B}+\int_0^B{xt^{x-1}\e^{-t}\,\mathrm{d}t} \\&=-B^x\e^{-B}+x\int_0^B{t^{x-1}\e^{-t}\,\mathrm{d}t}.\end{align*}\]Donc :\[\begin{align*}\Gamma(x+1)&=\lim\limits_{B\to \infty}\,\left(-B^x\e^{-B}+x\int_0^B{t^{x-1}\e^{-t}\,\mathrm{d}t}\right) \\&=x\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\e^{-t}\,\mathrm{d}t} \\&=x\Gamma(x).\end{align*}\]Soit alors $n$ un entier naturel. D’après ce qui précède, on a $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$. Il est alors facile de vérifier par récurrence que $\Gamma(n+1)=n!$.
En effet,\[\Gamma(0+1)=\int_0^{+\infty}{t^0\e^{-t}\,\mathrm{d}t}=\int_0^{+\infty}{\e^{-t}\,\mathrm{d}t}=\left[-\e^{-t}\right]_0^{+\infty}=1=0!.\]De plus, si on suppose que $\Gamma(n)=(n-1)!$ alors puisque $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$, on obtient :\[\Gamma(n+1)=n(n-1)!=n!.\]
Moins célèbre, mais pratique pour l’intégration des fonctions rationnelles, est la fonction eulérienne.
La fonction $\beta$ (nommée ainsi par Legendre) définie pour tout $x\gt 0$ et tout $y\gt 0$ :\[\beta(p,q)=\int_0^1{t^{p-1}{(1-t)}^{q-1}\,\mathrm{d}t=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}}.\]
Euler démontra la formule dite des compléments :
Si $0\lt p\lt 1$, alors :\[\Gamma(p)\cdot\Gamma(1-p)=\dfrac{\pi}{\sin(p\pi)}.\]
Avec $p=\dfrac{1}{2}$ :\[\sqrt{\pi}=2\int_0^{+\infty}{e^{-x^2}\,\mathrm{d}x}.\]C’est l’intégrale dite de Gauss.