Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espace vectoriels. Notons $+$ la loi de composition interne de $\mathscr{L}(E,F)$ et $\cdot$ la loi externe. Alors :
- $(\mathscr{L}(E,F),+)$ est un groupe commutatif.
- $(\mathscr{L}(E,F),+,\cdot)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
La vérification des propriétés est immédiate.
Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\mathbb{K}$-espace vectoriels. Soient $f$ et $g$ deux éléments de $\mathscr{L}(E,F)$.
Alors, $g\circ f$ est un élément de $\mathscr{L}(E,G)$.
Soient $f$ un élément de $\mathscr{L}(E,F)$ et $g$ un élément de $\mathscr{L}(F,G)$. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs de $E$ et $\lambda$ un scalaire.\[\begin{align*}(f\circ g )( x+\lambda y)&=f\bigl(g(x+\lambda y)\bigr) \\&=f\bigl(g(x)+\lambda g(y)\bigr) &&\text{par linéarité de $g$} \\ &=f\bigl(g(x)\bigr)+\lambda f\bigl(g(y)\bigr) &&\text{par linéarité de $f$}\\&=(f\circ g)(x)+\lambda (f\circ g)(y) \\ \end{align*}\]