Soit $f$ une bijection de $E$ vers $F$. Comment déterminer la bijection réciproque $f^{-1}$ ?
Soit $y$ un élément quelconque de $f$. $f$ étant une bijection de $E$ vers $F$, $y$ admet un unique antécédent dans $E$.Donc, l’équation « $f(x)=y$ » (où $y$ est fixé et $x$ l’inconnue) admet une unique solution en $x$. Cette solution nous donne $f^{-1}(y)$ en écrivant $x$ en fonction de $y$.
Soit $f$ une application de $E$ vers $F$. Soit $y$ un élément de $f$ fixé. Nous avons l’équivalence :
- Pour tout $y$ de $F$, l’équation « $f(x)=y$ » d’inconnue $x$ a une unique solution dans $E$.
- $f$ est une bijection de $E$ vers $F$.
De plus, si $f$ est une bijection, en résolvant l’équation « $f(x)=y$ », nous obtenons l’expression de $f^{-1}$.
Nous pouvons employer la méthode de résolution d’équation « $f(x)=y$ » sans savoir si $f$ est une bijection mais pour savoir si $f$ en est une.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+1$. $f$ est une bijection $\mathbb{R}^+$ vers $[1,+\infty[$.
Déterminons $f^{-1}$.
Soit $y$ un élément de $[1,+\infty[$. Résolvons sur $\mathbb{R}^+$ l’équation d’inconnue $x$, $f(x)=y$.
\[f(x)=y\iff x^2+1=y\iff x^2=y-1\iff x=\pm \sqrt{y-1}.\]Or, $x$ devant être positif, nous obtenons :\[f(x)=y\iff x=\sqrt{y-1}.\]En conclusion, $f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}$ et donc, $\displaystyle f^{-1}\left\{\begin{array}{rl}[1,+\infty[ & \to & [0,+\infty[ \\y & \mapsto & \sqrt{y-1} \\\end{array} \right.$
Nous écrirons plutôt en général :\[f^{-1}\left\{\begin{array}{rl}[1,+\infty[ & \to & [0,+\infty[ \\x & \mapsto & \sqrt{x-1}. \\\end{array} \right.\]
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$. $f$ est une bijection de $]0,1]$ vers $[2,+\infty[$.
Déterminons $f^{-1}$.
Soit $y$ un élément de $[2,+\infty[$. Résolvons sur $]0,1]$ l’équation d’inconnue $x$, $f(x)=y$.
\[f(x)=y\iff x+\frac{1}{x}=y\iff x^2-yx+1=0.\]Le discriminant de cette dernière équation est $\Delta=y^2-4\ge 0$ et donc nous obtenons pour $x$ deux possibilités :\[x=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\quad\text{et}\quad x=\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2}.\]Or, $\dfrac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\ge 1$$\begin{align*}\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\ge 1&\iff y+\sqrt{y^2-4}\ge 2 \\ &\iff \sqrt{y^2-4}\ge 2-y\end{align*}$
Cette dernière inégalité est vraie car le membre de gauche est positif et le membre de droite négatif ($y$ élément de $[2,+\infty[$)., d’où :\[f(x)=y\iff \frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2}.\]En conclusion, $\displaystyle f^{-1}(y)=\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2}$ et donc, $\displaystyle f^{-1}\left\{\begin{array}{rl}[2,+\infty[ & \to & ]0, 1] \\y & \mapsto & \frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2} \\\end{array} \right.$
Nous écrirons plutôt en général :\[f^{-1}\left\{\begin{array}{rl}[2,+\infty[ & \to & ]0,1] \\x & \mapsto & \frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}. \\\end{array} \right.\]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=3x+1$.
Résolvons l’équation d’inconnue $x$, $f(x)=y$ (où $y$ est un réel fixé).
$f(x)=y\iff 3x+1=y\iff x=\dfrac{1}{3}(y-1)$.
Or, $x$ est élément de $[0,1]$. Donc, nous obtenons $y$ élément de $[1,4]$.En conclusion, $f$ est une bijection de $[0,1]$ vers $[1,4]$ et $\displaystyle f^{-1}\left\{\begin{array}{rl}[1,4] & \to & [0,1] \\y & \mapsto & \frac{1}{3}(y-1) \\\end{array} \right.$
Nous écrirons plutôt en général :\[f^{-1}\left\{\begin{array}{rl}[1,4] & \to & [0,1] \\x & \mapsto & \frac{1}{3}(x-1). \\\end{array} \right.\]