On dit que la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I$ est continue par morceaux sur cet intervalle si pour tout $\alpha$ élément de $\R$ et $\beta$ élément de $\R$ réels tels que $[\alpha,\beta]\subset I$, $f$ est continue par morceaux sur $[\alpha,\beta]$.
Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur ${[a,b[}$ ($b$ réel ou infini).
Posons pour tout élément $x$ de ${[a,b[}$, $F(x)=\displaystyle\int_a^x{f(t)\,\mathrm{d}t}$.
Si $\lim\limits_{x\to b^-}\,F(x)$ existe et vaut le réel $l$, alors nous posons $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}=l$ et on dirons que l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge (vers $l$), sinon nous dirons que l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ diverge.
Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur ${]a,b]}$ ($a$ réel ou infini).
Posons pour tout élément $x$ de ${]a,b]}$, $F(x)=\displaystyle\int_x^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$.
Si $\lim\limits_{x\to a^+}\,F(x)$ existe et vaut le réel $l$, alors nous posons $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}=l$ et nous dirons que l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge (vers $l$), sinon nous dirons que l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ diverge.
L’idée de définir $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\,\mathrm{d}t}$ par $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{a\to+\infty}\,\int_{-a}^a{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est fausse.
Pour s’en convaincre, il suffit d’examiner l’exemple suivant…
$\begin{align*}&\lim\limits_{a\to+\infty}\,\int_{-a}^a{t\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{a\to+\infty}\,\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_{-a}^a=0 \\\text{et} &\lim\limits_{a\to +\infty}\,\int_{-a}^{a^2}{t\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{a\to+\infty}\,\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_{-a}^{a^2}=\lim\limits_{a\to+\infty}\,\left(\dfrac{a^4}{2}-\dfrac{a^2}{2}\right)=+\infty \\\end{align*}$
Quelle valeur prend-t-on pour $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{t\,\mathrm{d}t}$ ?
L’intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{t\,\mathrm{d}t}$ est divergente (voir remarque ci-dessous).
Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur ${]a,b[}$ ($a$ et $b$ réels ou infinis).
L’intégrale $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge si et seulement si pour $c$ élément de $]a,b[$ les deux intégrales $\displaystyle\int_a^c{f(t)\,\mathrm{d}t}$ et $\displaystyle\int_c^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ convergent et dans ce cas :\[\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}=\int_a^c{f(t)\,\mathrm{d}t}+\int_c^b{f(t)\,\mathrm{d}t}.\]On peut montrer que ce résultat est indépendant du réel $c$ (preuve aisée laissée au lecteur).
Etudier la nature de l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}$.
La fonction $t\mapsto \dfrac{1}{1+t^2}$ est continue sur ${]-\infty,+\infty[}$.
Choisissons $c=0$ et posons $F(x)=\displaystyle\int_0^x{\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}=\arctan(x)$.
Nous avons alors :\[\int_0^{+\infty}{\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}=\lim\limits_{x\to+\infty}\,\arctan(x)=\dfrac{\pi}{2}.\]De même :\[\int_{-\infty}^0{\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}=\dfrac{\pi}{2}.\]Nous en déduisons : \[\int_{-\infty}^{+\infty}{\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}=\int_{-\infty}^0{\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}+\int_0^{+\infty}{\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}=\pi.\]
Soit $f$ un élément de $C^0\bigl({[a,+\infty[}\bigr)$.
La condition « $\displaystyle\int_a^{+\infty}{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge » n’implique pas que « $\lim\limits_{+\infty}\,f=0$ ».
Soit $f$ la fonction définie par : $\forall n\in\N^*$,\[\begin{cases}&f(t)=-2^nt+1+2^nn &\text{si $t\in \left[n,n+\dfrac{1}2^n\right]$} \\&f(t)=2^nt+1-2^nn &\text{si $t\in \left[n-\dfrac{1}2^n,n\right]$} \\&f(t)=0 &\text{si $t\in \left]n-1+\dfrac{1}{2^{n-1}},n-\dfrac{1}{2^n}\right[$}. \\\end{cases}\] $f$ vérifie $\displaystyle\int_0^{+\infty}{f(t)\,\mathrm{d}t}$ converge et est égale à $1$ et $\lim\limits_{+\infty}\,f$ n’existe pas.
Soit $f$ une fonction réelle continue par morceaux sur ${[a,b[}$. Etude de $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$.
Si $\lim\limits_{t\to b^1}\,f(t)=l\in\R$, alors nous prolongeons $f$ par continuité en $b$ en posant $f(b)=l$.
Dans ce cas, l’intégrale $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est l’intégrale d’une fonction continue par morceaux définie sur $[a,b]$ et le problème de convergence ne se pose plus…
Etudier la nature de l’intégrale généralisée $\displaystyle\int_0^1{\dfrac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t}$.
La fonction $f:t\mapsto \dfrac{\sin(t)}{t}$ est continue sur ${]0,1]}$. Or, $\lim\limits_{x\to 0}\,f(x)=1$.
Nous prolongeons $f$ par continuité en $0$ en posant $f(0)=1$. (nous appelons encore $f$ la fonction ainsi prolongée).
Donc, $f$ est définie et continue sur l’intervalle $[0,1]$ et l’intégrale $\displaystyle\int_0^1{\dfrac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t}$ est donc une intégrale propre.