Idée
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ définie sur $I$ et $x_0$ un élément de $I$ ou une borne de $I$ ($x_0$ pouvant être égal à un réel, $+\infty$, $-\infty $).
Lorsque $x$ tend vers (s’approche de) $x_0$, on étudie comment se comporte $f(x)$ ; plus exactement, on regarde si $f(x)$ s’approche d’une valeur $\ell$ (finie ou infinie). Si c’est le cas, nous dirons que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est égal à $\ell$ et nous écrirons : $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$.
Malheureusement, nous ne pouvons prendre rigoureusement cette définition. Les expressions « tend vers » et « s’approche de » sont trop vagues et laissent trop d’interprétation et de flou pour avoir une définition valable… Il nous faut traduire mathématiquement le fait de « tendre vers » et préciser ces notions.C’est ce que nous faisons avec les définitions ci-après qui seront revues plus en détail en post-baccalauréat.
Inteprétion graphiques
Reprenons l’idée précédente…
Soit $f$ une fonction dont l’ensemble de définition contient un intervalle de la forme $]x_0,x_0+r[$ ou $]x_0-r,x_0[$ ($r$ étant un réel positif).
- Soit $\ell$ un nombre réel. Si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment voisin de $x_0$, on dit que la fonction $f$ a pour limite $\ell$ quand $x$ tend vers $x_0$.
- Si tout intervalle de la forme $]A;\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment voisin de $x_0$, on dit que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $x_0$.
- Si tout intervalle de la forme $]-\infty;A[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment voisin de $x_0$, on dit que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $x_0$.
Définitions mathématiques
Reprenons une dernière fois ces idées. Nous obtenons alors les définitions sur lesquelles nous allons travailler dans ce module. Des définitions plus précises (mathématiquement parlant) seront vues dans vos études ultérieures. Elles vous permettront de démontrer les résultats admis ici.
Soient $x_0$ et $\ell$ deux réels.
- $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$ signifie que l’on peut rendre $f(x)$ arbitrairement voisin de $\ell$ à la seule condition de prendre $x$ suffisamment voisin de $x_0$.
- $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ signifie que l’on peut rendre $f(x)$ arbitrairement grand que l’on veut à la seule condition de prendre $x$ suffisamment voisin de $x_0$.
- $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ signifie que l’on peut rendre $f(x)$ arbitrairement voisin de $\ell$ à la seule condition de prendre $x$ suffisamment grand.
- $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ signifie que l’on peut rendre $f(x)$ arbitrairement grand que l’on veut à la seule condition de prendre $x$ suffisamment grand.
Définitions analogues avec $-\infty$…
D’autres définitions équivalentes sont possibles.
A titre d’exemples, nous allons donner les définitions au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.
- $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$, contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
(Pour tout intervalle ouvert $J$ contenant $\ell$, on peut trouver $x_0$ dans $I$ telle que si $x\gt x_0$, $f(x)$ est dans $J$.) - On note $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ si pour tout $A$ réel, l’intervalle $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
(Pour tout réel $A$, il existe $x_0$ tel que si $x\gt x_0$ alors $f(x)\gt A$.) - On note $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ si pour tout $A$ réel l’intervalle $]-\infty,A[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
$f(x)=x^2+1$ et $x_0=3$
Nous avons dans ce cas : $\lim\limits_{x\to 3}f(x)=10$.
En effet, nous pouvons faire approcher $f(x)$ de $10$ juste en prenant $x$ suffisamment près de $3$.
Graphiquement, cette propriété s’interprète de la façon suivante.
Nous choisissons sur l’axe des ordonnées un intervalle (en général centré) en 10. Il existe alors un intervalle contenant 3 telle que le graphe de $f$ soit dans le rectangle obtenu en prenant l’intersection des bandes comme dans l’animation suivante :Pour rendre $f(x)$ proche de $10$ à $\epsilon$ près, il suffit de choisir $x$ proche de 3 à $\eta$ près.
$f(x)=x^2+1$ et $x_0=+\infty$
Nous avons dans ce cas : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
En effet, nous pouvons rendre $f(x)$ aussi grand que nous voulons juste en prenant $x$ suffisamment grand.
Graphiquement, cette propriété s’interprète de la façon suivante.
Nous choisissons sur l’axe des ordonnées un intervalle de la forme $[A,+\infty[$. Il existe alors un intervalle de la forme $[B,+\infty[$ telle que le graphe de $f$ soit dans le rectangle obtenu en prenant l’intersection des bandes comme dans l’animation suivante :Pour rendre $f(x)$ plus grand que $A$, il suffit de choisir $x$ plus grand que $B$.
$f(x)=\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ et $x_0=0$
Dans ce cas, la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 n’existe pas.
- Soient $f$ une fonction définie sur $D$ et $x_0$ un réel ou $+\infty $ ou $-\infty $. Le calcul d’une limite de $f$ en $x_0$ n’est étudié que si $x_0$ est élément de $D$ ou une borne de $D$.
Par exemple, nous n’étudierons pas la limite de la fonction : $x\mapsto \sqrt{x}$ en $x_0=-1$… - L’expression $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$ (avec $x_0$ fini ou infini, $\ell$ réel) se traduit aussi par :\[\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)-\ell)=0\text{ ou }f(x)=\ell+\epsilon(x)\text{ avec }\lim\limits_{x\to a}\epsilon(x)=0.\]Cette dernière égalité porte le nom de développement limité de $f$ en $x_0$ d’ordre $0$.
Si $f$ est définie en $x_0$ et si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $x_0$, alors nécessairement $\ell$ est égal à $f(x_0)$.
Faire attention à cette propriété !
Suivant la définition choisie pour définir la notion de limite, cette propriété peut être juste ou fausse… La définition que nous avons choisie dans cette présentation nous donne justement ce résultat.
Nous aurions pu choisir comme définition de limite $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$, ce qui signifie que l’on peut rendre $f(x)$ arbitrairement voisin de $\ell$ à la seule condition de prendre $x$ suffisamment voisin de $x_0$ avec $x\ne x_0$.
Les deux définitions ont leurs avantages et inconvénients.
Celle que nous avons choisie est plus naturelle mais la fonction suivante $f$ définie par $\forall x \in \R^*,\ f(x)=0\text{ et }f(0)=1$ n’a pas de limite en $0$…
Par contre, avec la deuxième définition, la limite de $f$ en $0$ existe et vaut $0$…
Nous nous intéresserons aux calculs de limite de $f$ en $x_0$ que si $x_0$ est une borne ouverte de l’ensemble de définition de $f$ ($x_0$ réel ou infini).