Soit [math] une fonction définie sur un ensemble [math] contenant le réel [math].
- On dit que [math] est continue en [math] si [math] admet une limite finie en [math]. Dans ce cas, [math].
- Si [math] n’est pas continue en [math], nous dirons qu’elle est discontinue en [math].
- On dit que [math] est continue sur [math] si [math] est continue en tout point de [math].
Géométriquement, la continuité d’une fonction [math] sur un intervalle [math] nous assure de pouvoir tracer sa courbe représentative « d’un trait continu de crayon » .
La notion de continuité bien qu’intuitive est une notion essentielle en Mathématiques qu’il faut manier avec attention.
Existe-t-il des fonctions partout discontinue ?
Oui. La fonction indicatrice de [math] notée [math] définie par :[math][math] indique l’appartenance à l’ensemble [math].
[math] est discontinue en tout réel [math].
La démonstration est hors programme.
Existe-t-il des fonctions partout discontinue ?
Voici un exemple de fonction plus « exotique ».
Soit la fonction [math] définie sur [math] comme suit :[math]Alors, [math] est discontinue sur [math], continue sur [math]…
La démonstration est hors programme.
La propriété qui suit découle des propriétés des limites et va nous permettre d’obtenir de nombreuses fonctions continues.
Soient [math] et [math] deux fonctions de [math] dans [math].
Soit [math] un élément de [math] (intersection des ensembles de définition des fonctions [math] et [math]) telles que [math] et [math] soient continues en [math].
Et soit [math] une constante réelle.Alors :[math]Si de plus [math] est non nul, [math] est continue en [math].
La démonstrations sera vue ultérieurement en post-baccalauréat.
Nous admettons ici le théorème suivant dont le résultat nous permettra d’avoir un grand nombre de fonctions continues, une fois le chapitre « Dérivation » vu.
Si une fonction est dérivable sur un intervalle [math], alors elle est continue sur [math].
Démontré dans le chapitre Dérivation.