Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ contenant le réel $x_0$.
- On dit que $f$ est continue en $x_0$ si $f$ admet une limite finie en $x_0$. Dans ce cas, $\lim\limits_{x\to x_0}\ f(x)=f(x_0)$.
- Si $f$ n’est pas continue en $x_0$, nous dirons qu’elle est discontinue en $x_0$.
- On dit que $f$ est continue sur $D$ si $f$ est continue en tout point de $D$.
Géométriquement, la continuité d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ nous assure de pouvoir tracer sa courbe représentative « d’un trait continu de crayon » .
La notion de continuité bien qu’intuitive est une notion essentielle en Mathématiques qu’il faut manier avec attention.
Existe-t-il des fonctions partout discontinue ?
Oui. La fonction indicatrice de $\Q$ notée $1_{\Q}$ définie par :\[1_{\Q}(x)=1\text{ si }x \in \Q\quad\text{et}\quad 1_{\Q}(x)=0\text{ si }x\notin \Q.\]${1_{\Q}}$ indique l’appartenance à l’ensemble $\Q$.
${1_{\Q}}$ est discontinue en tout réel $x$.
La démonstration est hors programme.
Existe-t-il des fonctions partout discontinue ?
Voici un exemple de fonction plus « exotique ».
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ comme suit :\[f(x)=\begin{cases}&\dfrac{1}{q} &\text{si $x=\dfrac{p}{q}$ non nul irréductible,}\ q\gt 0\\&\,1 &\text{si $x=0$}\\&\,0 &\text{si $x$ est irrationnel}\\\end{cases}\]Alors, $f$ est discontinue sur $\Q$, continue sur $\Q^c$…
La démonstration est hors programme.
La propriété qui suit découle des propriétés des limites et va nous permettre d’obtenir de nombreuses fonctions continues.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\R$ dans $\R$.
Soit $x_0$ un élément de $D_f\bigcap D_g$ (intersection des ensembles de définition des fonctions $f$ et $g$) telles que $f$ et $g$ soient continues en $x_0$.
Et soit $k$ une constante réelle.Alors :\[f+g,\ fg, kf\text{ sont continues en $x_0$}.\]Si de plus $g(x_0)$ est non nul, $\dfrac{f}{g}$ est continue en $x_0$.
La démonstrations sera vue ultérieurement en post-baccalauréat.
Nous admettons ici le théorème suivant dont le résultat nous permettra d’avoir un grand nombre de fonctions continues, une fois le chapitre « Dérivation » vu.
Si une fonction est dérivable sur un intervalle $D$, alors elle est continue sur $D$.
Démontré dans le chapitre Dérivation.