Chapitre 9Bijections

Soit $f$ une fonction de $E$ dans $F$. $f$ est une bijection de $E$ vers $F$ signifie que :

• Tout élément de $E$ a une unique image dans $F$ ;
• Tout élément de $F$ a un unique antécédent dans $E$.

Soit $f$ une application de $E$ dans $F$. $f$ est une bijection de $E$ vers $F$ signifie que tout élément de $F$ a un unique antécédent dans $E$.

1. Nous préférerons la première définition pour éviter les confusions entre fonction et application et cette définition met bien en évidence le rôle symétrique de $E$ et $F$, des notions d’image et d’antécédent.
2. Dans la définition d’une bijection, il est indispensable de préciser l’ensemble de départ et d’arrivée.

1. $f:A\to B$, avec $A=\{a,b,c,d\}$ et $B=\{1,2,3\}$
   $f$ est une application de A vers $B$ mais n’est pas une bijection (3 a deux antécédents).
2. $f:A\to B$, avec $A=\{a,b,c,d\}$ et $B=\{1,2,3,4\}$
   $f$ est une bijection de $A$ vers $B$.
3. L’application définie par : $x\mapsto x^2$ est une bijection de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$, mais ce n’est pas une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ($-3$ n’a pas d’antécédent), ni de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^+$ ($25$ a deux antécédents : $5$ et $-5$).