Nous donnons ici d’autres critères (conditions suffisantes) pour étudier la nature d’une intégrale généralisée.Ces critères sont dits de Riemann.L’idée de ces outils est de comparer l’intégrale à étudier à une intégrale de Riemann.
CorollaireCritère de Riemann au voisinage de l'infini
Soient $a$ un réel strictement positif et $f$ une fonction continue par morceaux sur $[a,+\infty[$.
- S’il existe un réel $\alpha\gt 1$ tel que $\lim\limits_{t\to+\infty}\,t^\alpha f(t)=0$, alors $\displaystyle\int_a^{+\infty}{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est absolument convergente
- S’il existe un réel $\alpha\le 1$ tel que $\lim\limits_{t\to+\infty}\,t^\alpha f(t)=+\infty$ (ou $-\infty$), alors $\displaystyle\int_a^{+\infty}{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est divergente.
Voir la preuve
- Supposons qu’il existe un réel $\alpha\gt 1$ tel que $\lim\limits_{t\to+\infty}\,t^\alpha f(t)=0$.
Alors :\[\exists {t_0}\in \R^{*+}\,/\,\forall t\in \R,\,t\ge {t_0}\implies \left| f(t){t^\alpha}\right|\lt\dfrac{1}{2}.\]Donc :\[\exists {t_0}\in \R^{*+}\,/\,\forall t\in \R,\,t\ge {t_0}\implies 0\le |f(t)|\lt \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{t^\alpha}.\]Or, $\displaystyle\int_a^{+\infty}{\dfrac{1}{t^\alpha}\,\mathrm{d}t}$ converge.D’où le résultat.- Supposons qu’il existe un réel $\alpha\le 1$ tel que $\lim\limits_{t\to+\infty}\,t^\alpha f(t)=+\infty$.
Alors :\[\exists {t_0}\in \R^{*+}\,/\,\forall t\in \R,\,t\ge {t_0}\implies {t^\alpha}f(t)\gt 1.\]Donc :\[\exists {t_0}\in \R^{*+}\,/\,\forall t\in \R,\,t\ge {t_0}\implies f(t)\gt \dfrac{1}{t^\alpha}.\]Or, $\displaystyle\int_a^{+\infty}{\dfrac{1}{t^\alpha}\,\mathrm{d}t}$ diverge.D’où le résultat.
CorollaireCritère de Riemann au voisinage d'un réel $a$
Soient $a$ et $b$ deux réels, et $f$ une fonction continue par morceaux sur $]a,b]$.
- S’il existe un réel $\alpha\lt 1$ tel que $\lim\limits_{t\to a^+}\,(t-a)^\alpha f(t)=0$, alors $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est absolument convergente.
- S’il existe un réel $\alpha\ge 1$ tel que $\lim\limits_{t\to a^+}\,(t-a)^\alpha f(t)=+\infty$ (ou $-\infty$), alors $\displaystyle\int_a^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est divergente..
Voir la preuve
Similaire au cas précédent.
Remarque : Cas particulier
Pour $a=0$, ces critères deviennent :
Soient $b$ un réel et $f$ une fonction continue sur $]0,b]$.
- S’il existe un réel $\alpha\lt 1$ tel que $\lim\limits_{t\to 0^+}\,t^\alpha f(t)=0$, alors $\displaystyle\int_0^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est absolument convergente
- S’il existe un réel $\alpha\ge 1$ tel que $\lim\limits_{t\to 0^+}\,t^\alpha f(t)=+\infty$ (ou $-\infty$), alors $\displaystyle\int_0^b{f(t)\,\mathrm{d}t}$ est divergente