La définition de la continuité est basée suer la notion de limite. Or, lorsque nous avons étudié le concept de limite, nous avons défini les notions de limite à droite, limite à gauche. De même, nous pouvons définir les notions de continuité à droite, continuité à gauche.
Une fonction $f$ continue à droite en $x_0$ est une fonction définie en $x_0$ et telle que sa limite à droite en $x_0$ existe (et est donc égale à $f(x_0)$).
Une fonction $f$ continue à gauche en $x_0$ est une fonction définie en $x_0$ et telle que sa limite à gauche en $x_0$ existe (et est donc égale à $f(x_0)$).
Prenons la fonction partie entière, notée $E$.
Nous avons :\[\lim\limits_{x\to 1^+}\ E(x)=1\quad\text{et}\quad E(1)=1.\]Donc, $E$ est une fonction continue à droite en $1$.
Nous rappelons que $\lim\limits_{x\to 1^-}E(x)$ n’existe pas (seul $\lim\limits_{\begin{align*}&x\to 1^- \\&x\lt 1 \\\end{align*}}E(x)$ existe et est égal à $0$) et donc la fonction n’est pas continue à gauche en $1$.
Nous avons immédiatement la propriété suivante.
Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $f$ est continue à gauche et à droite en $x_0$.