Comportement asymptotique | eMaths

Asymptotes parallèles aux axes

Exemple

$f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+1}$ , $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=3$ .
Asymptote $D$ d’équation $y=3$ en $+\infty$ .
Quel commentaire pouvez-vous faire lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

Voir la solution

Nous avons $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=3$ et la courbe représentative de $f$ se rapproche lorsque $x$ tend vers $+\infty$ de la droite $D$ .

Exemple

$f(x)=\dfrac{x+3}{x^2-1}$ , $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ .
Asymptote horizontale d’équation $y=0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Quel commentaire pouvez-vous faire lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , $-\infty$ , $1$ et $-1$ ?

Voir la solution

Nous avons :
$\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$ et la courbe représentative de $f$ se rapproche lorsque $x$ tend vers $1^+$ de la droite $D_1$ d’équation « $x=1$ ».
$\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$ et la courbe représentative de $f$ se rapproche lorsque $x$ tend vers $1^-$ de la droite $D_1$ d’équation « $x=1$ ».

$\lim\limits_{x\to -1^+}f(x)=-\infty$ et la courbe représentative de $f$ se rapproche lorsque $x$ tend vers $-1^+$ de la droite $D_2$ d’équation « $x=-1$ ».
$\lim\limits_{x\to -1^-}f(x)=+\infty$ et la courbe représentative de $f$ se rapproche lorsque $x$ tend vers $-1^-$ de la droite $D_2$ d’équation « $x=-1$ ».
$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ et la courbe représentative de $f$ se rapproche lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et vers $-\infty$ de l’axe des abscisses d’équation « $y=0$ ».
Résultat sur $f$ Interprétation géométrique de la courbe $C_f$
$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ (avec $\ell$ réel) La droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à $C_f$
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ (avec $a$ réel) La droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à $C_f$

Résultat sur $f$	Interprétation géométrique de la courbe $C_f$
$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ (avec $\ell$ réel)	La droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à $C_f$
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ (avec $a$ réel)	La droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à $C_f$

Exemples de recherche d’asymptotes

Une branche infinie de la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ apparaît dès lors que l’une au moins des deux coordonnées $x$ et $y$ d’un point de $C_f$ tend vers l’infini. L’étude des branches infinies d’une courbe est un complément indispensable à celle du comportement global de la fonction, en envisageant le comportement asymptotique d’un point de vue graphique.

Nous allons proposer d’examiner les situations où « la courbe $C_f$ se rapproche d’une droite » appelée asymptote dans les cas suivants : $\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)=\pm\infty$ .

Exemple

Étudions les branches infinies de la fonction $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}x+1\dfrac{1}{x}$ .

Nous avons : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ .
Nous nous proposons comme problème d’étudier plus en détail le comportement de la fonction $f$ en $+\infty$ .
Nous remarquons que $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{x} \right)=0$ .
Donc, $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+1 \right) \right)=0$ . Nous pouvons visualiser la quantité $\left(f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+1 \right) \right)$ .Nous dirons alors que le graphe de $f$ admet en $+\infty$ la droite $D$ d’équation $y=\dfrac{1}{2}x+1$ comme asymptote.

Nous pourrions faire une démarche similaire en $-\infty$ et aboutir à la conclusion :le graphe de $f$ admet en $-\infty$ la droite $D$ d’équation $y=\dfrac{1}{2}x+1$ comme asymptote.

Point méthode

Activité

Soit $(C)$ la courbe représentative d’une fonction $f$ et $(D)$ la droite d’équation $y=ax+b$ .
Soit $x$ un réel.

Le point $M$ de $(C)$ d’abscisse $x$ a pour ordonnées $f(x)$ et le point $P$ de $(D)$ d’abscisse $x$ a pour ordonnée $ax+b$ .
$f(x)-(ax+b)$ correspond à la différence des ordonnées de ces deux points.
Si cette différence tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , alors nous dirons que la droite $D$ est asymptote au graphe $(C)$ de $f$ en $+\infty$ .

On a une définition similaire pour une asymptote en $-\infty$ .

Application

Si $f(x)=ax+b+\epsilon(x)$ avec $\lim\limits_{x\to +\infty}\epsilon(x)=0$ , alors la droite d’équation $y=ax+b$ est asymptote à $C_f$ en $+\infty$ . Remarque analogue lorsque $x$ tend vers $-\infty$ .

Le signe de $f(x)-(ax+b)$ , c’est-à-dire de $\epsilon(x)$ , fournit la position de la courbe $C_f$ par rapport à son asymptote.

Remarque

Lorsque $a=0$ , la droite $(D)$ a pour équation $y=b$ , elle est parallèle à l’axe $(Ox)$ .
Nous dirons alors que nous avons une asymptote horizontale.
Lorsque $a\ne 0$ , nous dirons alors que nous avons une asymptote oblique.

Chapitre 6Limites

ThéoriesComportement asymptotique

Asymptotes parallèles aux axes

Exemples de recherche d’asymptotes

Point méthode