La combinaison d’un ensemble d’élément est une disposition non ordonnée de certains éléments dans cet ensemble.
Combinaisons sans répétition (ou remise)
Tirer simultanément (donc non successivement) $r$ éléments de la population $G$. Cela implique que l’ordre des éléments n’est pas considéré.
Pour des échantillons de taille 2 de $G$, l’échantillon $ab$ est le même échantillon que $ba$.
Si on extrait 2 éléments simultanément de la population G, les différentes formes qui peuvent se produire sont : \[\Omega=\{ab, ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf, cd, ce, cf, de, df, ef\}.\]Notons que $\Omega$ correspond à l’échantillon de l’espace de la situation précédente, en éliminant les permutations qui sont données entre les éléments d’un même échantillon.
Le nombre de combinaisons sans remise, c’est-à-dire le nombre d’échantillons non ordonnés sans remise, est la même quantité que le nombre d’arrangements divisé par les r! permutations des éléments d’un échantillon.\[\begin{align*}\text{Nombre de combinaisons} &=\frac{\text{Nombre d’arrangements possibles}}{\text{Nombre de permutations possibles}}=\frac{A_N^r}{r!} \\ &=\frac{N!}{(N-r)!r!}\end{align*}\]
Pour définir les combinaisons de $r$ éléments extraits d’une population de taille $N$, on utilise les notations :\[\binom{N}{r}\quad\text{et}\quad C_N^r.\]Elles se lisent « $N$ combiné de $r$ » ou « $N$ de $r$ ».
Généralement, on appelle combinaisons, le nombre d’arrangements possibles de $N$ éléments en tirant $r$ éléments simultanément, sans prendre l’ordre en compte. \[\text{Nombre de combinaisons}=C_{N}^{r}=\binom{N}{r}=\frac{N!}{(N-r)!r!}.\]
Notons que la combinaison de $N$ éléments pris tous à la fois est :\[\binom{N}{N}=1.\]En effet, comme l’ordre n’a pas d’intérêt, il existera seulement un arrangement possible. Similairement, on a :\[\binom{N}{0}=1\].
Combinaisons avec répétition (ou remise)
Tirer indépendamment de l’ordre $r$ éléments de la population $G$, tel que l’élément choisis soit remis pour qu’il puisse être sélectionné de nouveau lors du tirage suivant.
Les échantillons non ordonnés de taille 2 avec répétition extraits de la population $G$ sont : \[\Omega=\{aa, ab, ac, ad, ae, af, bb, bc, bd, be, bf, cc, cd, ce, cf, dd, de, df, ee, ef, ff\}.\]On peut les considérer de comportement similaire aux combinaisons sans répétition dans une population augmentée des éléments qui seront extrait moins un. Ainsi, ils sont tels des combinaisons sans répétition de taille $r$ obtenus à partir d’une population de taille $(N+r-1)$, donc : \[\text{Nombre de combinaisons}=\binom{N+r-1}{r}\]