Chapitre 17Applications linéaires

ThéoriesCas d’un endomorphisme avec E de dimension finie

Théorème

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n élément de N et soit f un élément de End(E).
Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. f est injective,
  2. f est surjective,
  3. f est bijective.

Nous allons démontrer que les points 1 et 2 sont équivalents, en utilisant le théorème du rang :Dim(Ker(f))+rg(f)=Dim(E).Ensuite, les équivalences des points 1, 2 et 3 seront immédiates.

  • Montrons que f est injective ⇒ f est surjective.
    Supposons f injective. Donc, Ker(f)={0E}.
    Comme E est de dimension finie, nous pouvons appliquer le théorème du rang.
    Or, Dim(Ker(f))=0 et donc rg(f)=Dim(E).
    Or, f est un endomorphisme de E. Donc, Im(f) est inclus dans E et de même dimension.
    Donc, Im(f)=E et ainsi nous avons démontré que f est surjective.
  • Montrons que f est surjective ⇒ f est injective.
    Supposons f surjective. Donc, Im(f)=E.
    Comme E est de dimension finie, nous pouvons appliquer le théorème du rang.
    Or, Dim(Im(f))=Dim(E) et donc, Dim(Ker(f))=0.
    Nous en déduisons que Ker(f)={0E}.
    Ainsi nous avons démontré que f est surjective.