Règles de comparaison
La connaissance des limites de certaines fonctions peuvent en utilisant des règles de comparaison permettre d’obtenir de nouvelles limites.
Ces règles de comparaison sont dans le tableau suivant :
| Hypothèse 1 Inégalités pour $x$ « assez proche » de $x_0$ | Hypothèse 2 Comportement lorsque $x$ tend vers $x_0$ | Conclusion Limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ |
|---|---|---|
| $u(x)\le f(x)$ | $u$ tend vers $+\infty$ | $f$ tend vers $+\infty$ |
| $f(x)\le u(x)$ | $u$ tend vers $-\infty$ | $f$ tend vers $-\infty$ |
| $|f(x)-\ell|\le u(x)$ | $u$ tend vers $0$ | $f$ tend vers $\ell$ |
| $u(x)\le f(x)\le v(x)$ | $u$ et $v$ tendent vers la même limite $\ell$ | $f$ tend vers $\ell$ (théorème des gendarmes) |
| $f(x)\le g(x)$ | $f$ et $g$ admettent des limites en $a$ | $\lim\limits_{x\to a}f(x)\le \lim\limits_{x\to a}g(x)$ |
Notons que, dans la conclusion du dernier résultat, on n’obtient qu’une inégalité large entre les limites, même si l’hypothèse 1 est : $f(x)\lt g(x)$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$.
Etudions la limite de $f$ en $+\infty$.
Nous rencontrons le problème suivant : le dénominateur tend vers $+\infty$ et le numérateur n’a pas de limite…
Or, $\forall x\in \R^{*+},\ 0\le \left|f(x)\right|=\left|\dfrac{\sin(x)}{x}\right|\le \dfrac{1}{x}$. Nous avons :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}x=0.\]Nous en concluons d’après la troisième règle : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.Nous aurions aussi pu raisonner de la manière suivante :
\[\forall x\in \R^*,\ -\frac{1}{x}\le \frac{\sin(x)}{x}\le \frac{1}{x}.\]Or, $\lim\limits_{x\to +\infty}-\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$.
D’après la quatrième règle (règle des gendarmes), nous en déduisons que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
Limite d’une fonction composée
Si $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ et $\lim\limits_{y\to b}g(y)=\ell$, alors $\lim\limits_{x\to a}g\circ f(x)=\ell$ (avec $a$, $b$, $\ell$ finis ou infinis).
Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\sin\left(x^2+\frac{\pi}{4}\right)$.
Etudier la limite de $f$ en $0$.
$h$ est composée des fonctions $f$ et $g$ définies respectivement par $f(x)=x^2+\dfrac{\pi}{4}$ et $g(x)=\sin(x)$ :\[h=g\circ f.\]Nous avons :\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\dfrac{\pi}{4}\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]Nous en déduisons :\[\lim\limits_{x\to 0}h(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]