Le calcul de la probabilité d’un évènement $A\subset \Omega$ doit répondre aux trois axiomes suivants :
- $P(A)\geq 0$
- $P(\Omega)=1$
- $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ si et seulement si $A\cap B=\varnothing$
Une fois définie les types d’évènements simples ou à la suite de combinaisons entre eux, on verra comment calculer leur probabilité.
Il existe différentes alternatives, toutes complémentaires ou récurrentes, et qui facilitent la quantification de la probabilité, comme celles suivantes.
Pour cela, il est recommandé d’appliquer une méthodologie qui amène à définir avec une certaine précision les résultats ou les évènements aléatoires de l’Expérience Aléatoire.
- Définir ou décrire l’expérience.
- Définir l’univers des possibles avec des évènements élémentaires ou des résultats possibles.
- Attribuer à chaque évènement élémentaire une probabilité telle que $P(E_i)\geq 0$ et $\sum{}P(E_i)=1$
- Définir la caractéristique $A$ spécifier et identifier les évènements élémentaires qui la remplissent ou la satisfasse.
- Calculer la probabilité totale de $A$ comme somme des probabilités des évènements élémentaires qui la satisfassent $P(A)=\sum{}P(A_i)$.
Cette méthode est généralement applicable si le nombre de résultats est petit, parce que s’il est grand, elle devient compliquée et on doit alors chercher d’autres alternatives. Elle est sur et précise si le but de l’expérience aléatoire est claire.
Un revendeur de moteurs a stocké 5 moteurs sans savoir que 2 ont des défauts pour fonctionner correctement. Il reçoit une commande de 2 moteurs ; la commande est faite au hasard, en sélectionnant parmi les 5 stockés.
Soit $A$ l’évènement « Répondre à la commande en envoyant 2 moteurs sans défauts ». Quelle est sa probabilité ?
Notons $b$, les bons moteurs et $d$ les défectueux. En appliquant la méthodologie recommandée précédemment, nous avons :
- L’expérience aléatoire consiste en sélectionner au hasard 2 moteurs parmi 5 existants, dont 3 sont bons et 2 défectueux.\[\text{Population}=\{b_1,b_2,b_3,d_1,d_2\}\]
- Par conséquent : \[\Omega =\left\{ \begin{align*}&(b_1b_2),(b_1b_3),(b_1d_1),(b_1d_2),(b_2b_3),\\&(b_2d_1),(b_2d_2),(b_3d_1),(b_3d_2),(d_1d_2)\end{align*} \right\}\]
- Comme il y a 10 évènements éléméntaires également possibles, la probabilité de chacun d’entre eux sera $\dfrac{1}{10}=0{,}10$.
- Les évènements élémentaires qui répondent à l’évènement $A$ (« 2 bons moteurs ») sont : \[(b_1b_2),(b_1b_3),(b_2b_3).\]
- $P(A)=P(\text{2 bons moteurs})=0{,}10+0{,}10+0{,}10=0{,}30$
Basé sur le même exemple, on peut poser, également, d’autres questions comme :
- Probabilité d’exactement 1 moteur bon dans la commande : \[(b_1d_1),(b_1d_2),(b_2d_1),(b_2d_2),(b_3d_1),(b_3d_2)=\frac{6}{10}\]Alors, $P(\text{exactement 1 bon})=\dfrac{6}{10}$.
- Probabilité d’au moins (au minimum) 1 moteur bon :\[(b_1b_2),(b_1b_3),(b_1d_1),(b_1d_2),(b_2b_3),(b_2d_1),(b_2d_2),(b_3d_1),(b_3d_2)=\frac{9}{10}\]Ce cas peut être résolue en présentant l’évènement complémentaire d’au moins 1 bon, qui serait « aucun bon » ($dd$) dont la probabilité est $\dfrac{1}{10}$. Puis $1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$.
En procédant de cette façon, nous obtenons un résultat fiable, mais la méthode devient difficile à fur et à mesure que les résultats possibles grandissent ou que les éléments intégrants l’expérience augmentent.
Pour s’aider à définir quels sont les évènements élémentaires de l’univers des possibles, on peut s’aider d’une arborescence comme suit.
Quand un univers peut être construit en plusieurs étapes, chacune des façons de construire ou compléter la première étape représente une branche, chaque façon de terminer la deuxième étape peut être représenté par branches avec pour origine ou début la terminaison des branches de la première étape, et ainsi de suite, jusqu’à ce que la dernière étape. Il s’agit des résultats possibles de $\Omega$ dans une forme systématique.
Cette approche est souvent appelé « Principe de multiplication« . Il permet de connaitre le nombre de résultats possibles d’une expérience mais il ne spécifie pas chacun d’entre eux.
Prenons un exemple plus grand que le cas des moteurs, comme la sélection de trois unités d’un processus de production et sa classification en tant que correcte ou défectueux.
On dit qu’il y a $n_1$ branches de première génération ; pour chacune d’elles, il y a $n_2$ branches de deuxième génération et pour chacune d’elles, il y a $n_3$ branches de troisième génération. Alors, il y a :\[n_1\times n_2\times n_3\text{ résultats possibles.}\]
Pour les processus plus complexes dans l’estimation du nombre de résultats possibles, il est utile de connaitre des techniques élaborées pour une telle fin. Ces techniques sont appelées techniques de dénombrement ou analyse combinatoire dont le principe général est présenté dans la suite.