Soit $f$ une bijection de $E$ vers $F$. Tout élément de $f$ a un unique antécédent dans $E$. Nous définissons ainsi une application de $F$ vers $E$ qui a un élément de $F$ associe son unique antécédent dans $E$. Cette application est notée $f^{-1}$ et est appelée bijection réciproque de $f$.
Nous obtenons donc la propriété suivante.
Soit $f$ une bijection de $E$ vers $F$. $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie de $F$ vers $E$ et pour $x$ élément de $E$, $y$ élément de $F$ :
\[y=f(x)\iff x=f^{-1}(y).\]Soit $f$ une bijection de $E$ vers $F$. $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie de $F$ vers $E$ et :\[\forall y\in F,f\circ f^{-1}(y)=f\left(f^{-1}(y)\right)=y\quad\text{et}\quad\forall x\in E,f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x\]Nous pouvons également écrire la propriété ainsi :\[f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_F\quad\text{et}\quad f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_E,\]où $\operatorname{Id}_F$ est l’application identité (ou identique) de $F$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{rl}F& \to &F \\y& \mapsto &y, \\\end{array} \right.$
et $\operatorname{Id}_E$ est l’application identité (ou identique) de $E$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{rl}E& \to &E \\x& \mapsto &x. \\\end{array} \right.$
La notation $f^{-1}$ a été choisie par similitude de l’inverse d’un réel $\left(\text{Pour $x$ réel non nul},x^{-1}=\dfrac{1}{x}\right)$.
En effet, sur l’ensemble des nombres réels, il existe deux opérations : l’addition ($+$) et la multiplication ($\times $).
Sur l’ensemble des fonctions réelles, il existe deux opérations : l’addition ($+$) et la composée ($\circ $).
L’addition des fonctions réelles généralise l’addition des réels (i.e. propriétés similaires) et la composée des fonctions réelles généralise la multiplication des réels (i.e. propriétés similaires). Par exemple, la règle du signe d’un produit se généralise à la règle des variations d’une composée de fonctions. Aussi, l’inverse d’un réel (lorsqu’il existe) se note de façon similaire à la réciproque d’une fonction (lorsqu’elle existe) et l’application identité d’un ensemble généralise le réel 1.La multiplication des fonctions réelles existe aussi mais elle ne généralise pas la multiplication des réels.
Pour éviter toute confusion, nous n’écrirons jamais $f^{-1}$ l’inverse d’une fonction $\left(\dfrac{1}{f} \right)$, la notation $f^{-1}$ étant réservée à la réciproque de $f$ (si elle existe).
Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=3x+1$.
$f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ et nous avons $f^{-1}$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f^{-1}(y)=\dfrac{1}{3}y-\dfrac{1}{3}$.
$y$ étant la variable de $f^{-1}$, il s’agit d’une variable muette.Ainsi, nous préfèrerons en général écrire $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$.
$f$ est une bijection de $]0,1]$ vers $[2,+\infty[$ et nous avons $f^{-1}$ de $[2,+\infty[$ vers $]0,1]$ définie par $f^{-1}(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}$.
Nous avons :\[\begin{align*}&\forall x\in [2,+\infty[,&&f\circ f^{-1}(x)=f\left(f^{-1}(x)\right)=y \\&\text{et }\forall x\in ]0,1],&&f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\left(f(x)\right)=x.\end{align*}\]
Il faut bien préciser les ensembles de départ et d’arrivée…
Si nous disons que l’application réciproque de la fonction carrée $(f)$ est la fonction racine carrée $(f^{-1})$, nous obtenons :\[f\circ f^{-1}(x)=x,\text{ c’est-à-dire }{\left(\sqrt{x}\right)}^2=x\quad\text{et}\quad f^{-1}\circ f(x)=x,\text{ c’est-à-dire }\sqrt{x^2}=x.\]L’égalité ${\left(\sqrt{x} \right)}^2=x$ est seulement définie sur $\mathbb{R}^+$ et elle est vraie sur $\mathbb{R}^+$.
L’égalité $\sqrt{x^2}=x$ est définie sur $\mathbb{R}$ et elle est vraie sur $\mathbb{R}^+$. Sur $\mathbb{R}$, nous avons $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$…
Le bon raisonnement est le suivant.
La fonction carrée est une bijection de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$ et sa bijection réciproque de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$ est la fonction racine carrée. Ainsi :\[\forall x\in \mathbb{R}^+,{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}=x\quad\text{et}\quad\forall x\in \mathbb{R}^+,\sqrt{x^2}=x.\]
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que $f$ soit bijective de son ensemble de défintion sur son image. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ (première bissectrice).
Soit $R=\left(O,\vec i,\vec j\right)$ un repère orthonormé et $f$ une bijection de $I$ vers $J$. On appelle $C_f$ le graphe de $f$ dans ce repère et $C_{f^{-1}}$ le graphe de $f^{-1}$ dans ce même repère. Soit $M$ de coordonnées $(x,y)$ ; son symétrique par rapport à la première bissectrice est le point $N$ de coordonnées $(y,x)$.
Nous avons les équivalences suivantes :\[\begin{align*}M\in C_f&\iff x\in I,y\in J,y=f(x) \\&\iff y\in J,x\in I,x=f^{-1}(y) \\&\iff N\in C_{f^{-1}}.\end{align*}\]Il reste à démontrer que la première bissectrice $(D)$ est la médiatrice de $[M,N]$ (si $M$ n’est pas un point de $D$, sinon, le résultat est déjà établit).
Cela se fait en 2 points :
- On montre que le milieu $I$ de $[M,N]$ appartient à $D$.
Les coordonnées de $I$ sont :\[x_I=\frac{x+y}{2}\quad\text{et}\quad y_I=\frac{y+x}{2}.\]On a $x_I=y_I$, et ainsi $I$ appartient à $D$.- On montre que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à $D$.
Le vecteur $\vec u$ de coordonnées $(1,1)$ est un vecteur directeur de $D$.
Comme $M$ n’est pas un point de $D$, nous avons $M$ distinct de $N$. Ainsi, le vecteur $\overrightarrow{MN}$ de coordonnées $(y-x,x-y)$ est un vecteur directeur de la droite $(MN)$.
Calculons le produit scalaire $\vec u\cdot\overrightarrow{MN}$ :\[\vec u\cdot \overrightarrow{MN}=1\cdot(y-x)+1\cdot(x-y)=0.\]Donc, les vecteurs $\vec u$ et $\overrightarrow{MN}$ sont orthogonaux : les droites $D$ et $(MN)$ sont perpendiculaires.Nous avons bien démontré que la première bissectrice est la médiatrice de $[M,N]$.
Nous en déduisons que les graphes $C_f$ et $C_{f^{-1}}$ sont symétrique par rapport à la première bissectrice.