L’arrangement d’un ensemble d’élément est une disposition ordonnée de certains éléments dans cet ensemble.
Arrangements avec répétition (ou remise)
Tirer successivement et de façon ordonnée $r$ éléments de la population $G$, tels que chacun des éléments choisis soit remis pour qu’il puisse être sélectionné de nouveau lors du tirage suivant.
Les échantillons ordonnés avec répétition de taille 2 de la population $G$ et qui constituent l’univers des possibles de l’expérience aléatoire sont :\[\Omega=\left\{\begin{align*}&aa,ab,ac,ad,ae,af,ba,bb,bc,bd,be,bf,ca,cb,cc,cd,ce,cf,\\&da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee,ef,fa,fb,fc,fd,fe,ff\end{align*}\right\}.\]Notons que $ed$ et $de$ sont des échantillons différents et qu’il est possible d’avoir des échantillons comme $bb$ ou $ff$ dont un élément peut être répété dans le même échantillon.
Dans l’exemple, le nombre d’arrangements est obtenu en appliquant le principe fondamental du dénombrement. Si un processus s’effectue en deux étapes, la première étape correspond au premier tirage et peut se faire de 6 manières différentes, et la seconde étape peut également se faire de 6 manières différentes. Ainsi : \[\text{Nombre d’arrangements}=6\times 6=36.\]
Dans la majorité des exécutions d’expériences aléatoires de ce type, il n’est pas intéressant de connaitre tous les résultats possibles, mais de savoir combien ils sont.
En généralisant le comportement de l’Expérience Aléatoire de ce type, on a une population de taille $N$ et on l’extrait de l’échantillon aléatoire et avec remise. Le nombre possible d’eux sera : \[\text{Nombre d’arrangements}=\overbrace{N\times N\times\cdots\times N}^{r\text{ fois}}=N^r\]
Dans le cas de l’exemple de la méthode précédente, nous avons $N=6$ et $r=2$.
D’où : \[\text{Nombre d’arrangements}=6^2=36\text{ cas ou résultats possibles.}\]
Arrangements sans répétition (ou remise)
Tirer successivement et de façon ordonnée $r$ éléments de la population $G$, tels que chacun des éléments sélectionnés perde la propriété de retourner dans $G$ et donc de pouvoir être sélectionné de nouveau.
L’ordre est important pour définir chaque résultat possible, c’est-à-dire par exemple que l’échantillon $ab$ est différent de l’échantillon $ba$.
Les échantillons ordonnés de taille 2 sans répétition extraits de la population $G$ sont les 30 suivants : \[\Omega=\left\{\begin{align*}&ab, ac,ad,ae,af,ba,bc,bd,be,bf,ca,cb,cd,ce,cf,\\&da,db,dc,de,df,ea,eb,ec,ed,ef,fa,fb,fc,fd,fe\end{align*}\right\}.\]En ce qui concerne ceux de la situation antérieure, sont alors éliminés $aa$, $bb$, $cc$, $dd$, $ee$, $ff$ qui auraient seulement pu avoir lieu avec remise.
Dans ce cas, l’exécution de l’expérience aléatoire implique 2 étapes. La première extraction avec 6 possibilités et la seconde extraction avec cinq possibilités. Ainsi : \[\text{Nombre d’arrangements}=6\times 5=30.\]
En généralisant à une population de taille $N$, le nombre d’échantillons aléatoire de taille $r$ parmi cette population sera de : \[\text{Nombre d’arrangements}=\frac{N!}{(N-r)!}\]
$\text{Nombre d’arrangements}=N\times(N-1)\times(N-2)\times\cdots\times(N-r-1)$.
Si on multiplie et divise ce résultat par $(N-r)!$, on obtient :\[\begin{align*}\text{Nombre d’arrangements}&=\frac{N\times(N-1)\times(N-2)\times\cdots\times(N-r-1)\times(N-r)!}{(N-r)!}\\&=\frac{N!}{(N-r)!}\end{align*}\]
Pour définir les arrangements de $r$ éléments extraits d’une population de taille $N$, on utilise la notation :\[A_N^r\]Elle se lit « un $r$-arrangement de $N$ » ou « un arrangement de $r$ éléments parmi $N$ ».