Chamamos implicação toda proposição condicional da forma se $A$ então $B$ onde $A$ et $B$ são proposições. Uma implicação pode ser verdadeira ou falsa e ela também pode ser notada por $A \implies B$ que se lê $A$ implica $B$.
- « se $x=3$ então $x^2=9$ » é uma implicação verdadeira.
- « se $x=5$ então $3x= 20$ » é uma implicação falsa porque quando $x=5$, $3x=15$ e $15\ne 20$.
Para se mostrar que a implicação « se $A$ então $B$ » é verdadeira, supõe-se que a proposição $A$ é verdadeira, e a seguir deduz-se, depois de uma ou mais etapas de raciocínio, que a proposição $B$ é verdadeira.
Para se mostrar que a implicação « se $A$ então $B$ » é falsa, é preciso mostrar que a proposição $A$ pode ser verdadeira, enquanto que a proposição $B$ é falsa frequentemente trata-se de encontrar um contra exemplo).
- Para mostrar que « se $x\leq 3$ então $x–3–x^2\leq 0$ » é verdadeira, supõe-se que $x\leq 3$ e deduzimos que $x–3\leq 0$ ; como um número ao quadrado é sempre positivo, $x^2\geq 0$ então $–x^2\leq 0$. Adicionando dois números negativos, obtém-se um número negativo, assim $x–3–x^2\leq 0$.
- Para mostrar que « se $x^2\geq 1$ então $x\geq 1$ » é uma implicação falsa, deve-se procurar um contra exemplo, isto é, um número real $x\lt 1$ tal que $x^2\geq 1$. O real $x=-2$ convém : $(-2)^2=4\geq 1$ mas $-2\lt 1$. Este número real contradiz a implicação, então ela é falsa.
Quando a propriedade « se $A$ então $B$ » é verdadeira, diz-se que $A$ é uma condição suficiente para $B$ ; diz-se também que é suficiente ter $A$ para se ter $B$.
- Como « $(x=-2)\implies (x^2=4)$ » é verdadeira, pode-se dizer que « $x=-2$ é uma condição suficiente para ter $x^2=4$ ». Pode-se também dizer que « é suficiente ter $x=-2$ para que $x^2=4$ ».
- É suficiente que $ABCD$ seja um losango para que $ABCD$ seja um paralelogramo.