Capítulo 16Espacios vectoriales

En $\R^2$, se definen las siguientes dos leyes de composición siguiente :

• $\forall \bigl((x,y),(x’,y’)\bigr)\in\R^2\times \R^2, (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)$
• $\forall\lambda\in\R,\ \lambda\bullet(x,y)=(\lambda^2x,\lambda^2y)$

$(\R^2,+, \bullet)$ ¿ es un espacio vectorial real ?

En $\R^2$, se definen las siguentes dos leyes de composición siguientes :

• $\forall \bigl((x,y), (x’,y’)\bigr)\in\R^2\times \R^2, (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)$
• $\forall\lambda\in\R,\ \lambda\square(x,y)=(\lambda x,0)$

$(\R^2,+,\square)$ ¿ es un espacio vectorial real ?

En $E=\R^{+*}\times \R$, se definen las dos siguientes leyes de composición siguientes :

• $\forall \bigl((x,y), (x’,y’)\bigr) \in E^2,\ (x,y)\oplus (x’,y’)=(xx’,y+y’)$
• $\forall\lambda\in\R,\ \lambda\square(x,y)=(x\lambda,\lambda y)$

$(E,\oplus,\square)$ ¿ es un espacio vectorial real ?

Los siguientes conjuntos ¿ son subespacios vectoriales de $(\R^3,+,\cdot)$ ?

1. $F_1=\bigl\{(x,y,z)\in\R^3\vert z=0\bigr\}$
2. $F_2=\bigl\{(x,y,z)\in\R^3\vert x\lt 0\bigr\}$
3. $F_3=\bigl\{(x,y,z)\in\R^3\vert x=1\bigr\}$
4. $F_4=\bigl\{(x,y,z)\in\R^3\vert x=y, y=2z\bigr\}$

Los siguientes subconjuntos de $\R[X]$ ¿ son subespacios vectoriales ?

1. $F_1=\bigl\{P\in\R[X] \vert P(0)=0\bigr\}$
2. $F_2=\bigl\{P\in\R[X] \vert P= 0\text{ ou }\deg (P) \leq 2\bigr\}$
3. $F_3=\bigl\{P\in\R[X] \vert P(0)=P(1)\bigr\}$
4. $F_4=\bigl\{P\in\R[X] \vert P+P’=1\bigr\}$

En $\R^3$, el vector $V=(1,2,3)$ pertenece al subespacio vectorial $F_1$ ¿ generado por $V_1=(0,1,0)$ y $V_2=(1,1,1)$ ?
La misma pregunta con $F_2$ generado por $V_3=(-1,-1,0)$ y $V_4=(0,1,3)$ ?

En $\R^3$, los siguientes sistemas ¿ son linealmente independiente ? ¿ generadores de $\R^3$ ? son bases de $\R^3$ ?

1. $S_1=\{(1,0,0) (0,1,0)\}$
2. $S_2=\{(0,0,0);(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}$
3. $S_3=\{(1,2,3)\}$
4. $S_4=\{(1,1,0);(0,1,1);(1,0,1)\}$

En el conjunto de las funciones, los siguientes sistemas ¿ son linealmente independientes o linealmente dependientes ?

1. $F_1=\{\cos,\sin\}$
2. $F_2=\left\{\exp,\frac1{\exp}\right\}$
3. $F_3=\left\{\exp,\frac1{\exp},\cosh\right\}$

1. Determinar $\Dim(\R^4[X]$).
2. Determinar $\Dim(E)$ con $E=\{a\cos+b\sin \vert (a,b)\in\R^2\}$.

En $\R^3$, determinar una base de $F=\bigl\{(x,y,z)\in \R^3 \vert x=y=2z\bigr\}$.