La llamada implicación es cualquier proposición condicional de la forma $A$ entonces $B$ où $A$ et $B$ son dos proposiciones. Una implicación puede ser verdadera o falsa y se denota $A \implies B$, se lee $A$ implica $B$.
- « si $x=3$ entonces $x^2=9$ » es una implicación verdadera.
- « si $x=5$ entonces $3x=20$ » es una implicación falsa, ya que si $x=5$, $3x=15$ y $15\ne 20$.
Para demostrar que la implicación « si $A$ entonces $B$ » es verdadera, se suponemos que la proposición $A$ es verdadera y deducimos, después de varios pasos de razonamiento , que la proposición $B$ es verdadera.
Para demostrar que la implicación « si $A$ entonces $B$ » es falsa, debemos mostrar que la proposición $A$ pueda ser verdadera cuando la proposición $B$ es falsa (generalmente se muestra con un contraejemplo).
- Para mostrar que « si $x\leq 3$ implica $x–3–x^2\leq 0$ » es verdadera, suponemos $x\leq 3$ y deducimos que $x–3\leq 0$; y como el cuadrado de un número siempre es positivo, esto es $x^2\geq 0$ por lo tanto $–x^2\leq 0$. Como la adición de dos números negativos es negativo, se obtiene un número negativo por lo tanto $x–3–x^2\leq 0$.
- Para mostrar que « si $x^2\geq 1$ entonces $x\geq 1$ » es una implicación falsa, buscaremos un contraejemplo, es decir un número real $x\lt 1$ tal que $x^2\geq 1$. El real $x=-2$ apropiado: $(-2)^2=4\geq 1$ pero $-2\lt 1$. Esto contradice la implicación, por lo cual es falsa.
Cuando la propiedad « si $A$ implica $B$ » es cierta, decimos que $A$ es una condición suficiente para $B$; también se dice que $A$ es suficiente para $B$.
- Como « $(x=-2)\implies (x^2=4)$ » es cierta, se puede decir que « $x=-2$ es una condición suficiente para $x^2=4$ ».
Podemos decir « es suficiente $x=-2$ para que $x^2=4$ ». - Es suficiente que ABCD sea un rombo para que ABCD sea un paralelogramo.