Capítulo 14Lógica

1. Es sufficiente que $x=2$ para que $x^2=4$.
2. Es necesario y suficiente que $\ln ⁡x=1$ para que $x=e$.
3. Es suficiente que la fonction $f$ sea creciente para que $f(3)\geq f(0)$.
4. Es necesario que $\cos ⁡x=1$ para que $x=0$.
5. Es necesario y suficiente que $x^2=x$ para que $x=0$ ou $x=1$.

1. $a=b\implies |a|=|b|$
2. $ab=0\impliedby b=0$
3. $|a|=|b|\iff a^2=b^2$
4. $ab\gt 0\impliedby a\gt 0\text{ y }b\gt 0$
5. $a+b=b\iff a=0$

1. 1. Verdadera. Hay un teorema básico de geometría que lo válida.
   2. Falso. Ellas podrían tocarse y ser distintas y no paralelas.
   3. Falso. Los dos planos $P_1$ y $P_2$ pueden intersectarse en $D$ y no confundirse.
2. 1. Si las dos rectas $d_1$ y $d_2$ son paralelas entonces $d_1$ y $d_2$ son paralelas a la recta $D$. Esto es falso por ejemplo tomando $D$ perpendicularmente a $d_1$ y $d_2$.La veracidad de una recíproca es independiente de la verdad de la implicación de origen. Todos los casos en la figura son posibles.
   2. Si las dos líneas $d_1$ y $d_2$ no son paralelas entonces $d_1$ o $d_2$ no es paralela al plano plan $P$. Es falso porque una implicación y su contraposición no son verdaderas y falsas al mismo tiempo, o la segunda implicación es falsa. También es conveniente tomar un contraejemplo: tomando dos rectas $d_1$ y $d_2$ que se intersectan y distintas del plano $P$.
   3. Si existen dos planos $P_1$ y $P_2$, cada una paralela a la línea $D$ pero no paralelas entre sí. Es cierta porque la implicación #3 es falsa.

1. 1. Si. La función $f:x\mapsto x$ es continua y su derivada tambiénen $[-1,1]$.
   2. Si. La función $f:\begin{cases}\hphantom{x\ne\;}0\mapsto 2 \\x\ne 0\mapsto x\end{cases}$ no es continua ni su derivada en $[-1,1]$.
   3. No si una función es derivable en $[-1,1]$ es necesariamente continua en $[-1,1]$.
   4. Si. La función $f:\mapsto|x|$ es continua pero no es derivable en $0$.
2. 1. $f$ no es continua o $f$ no es derivable en $[-1,1]$.
   2. $f$ es continua o $f$ es derivable en $[-1,1]$.
   3. $f$ no es derivable o $f$ es continua en $[-1,1]$.
   4. $f$ es derivable o $f$ no es continua en $[-1,1]$.

1. Falso porque toman $u_n=n$ y $v_n=-n$, son dos sucesiones divergentes y pero su suma $u_n+v_n=0$ que es el término general de una sucesión constante es convergente.
2. Falso porque si tomamos $u_n=\dfrac{1}{n}$ y $v_n=n^2$, la sucesión $\bigl(u_n\bigr)$ converge a $0$ pero el producto $u_n v_n=n$ no converge a cero.

$2 \sin x=\sin(2x)\iff 2\sin x=2\sin x\cos x$.
Pero no simpre podemos dividir cada término por $2\sin x$ que puede ser cero. Así que no hay equivalencia pero en la implicación $\cos x=1\implies 2\sin x=\sin(2x)$.

1. $f'(a)=0$ es una condición necesaria para que $f$ admita un máximo en $a$.
2. $f$ admite un valor extremo en $a$ es una condición suficiente para que $f'(a)=0$.
3. Que $f$ sea una función decreciente es una condición necesaria y suficiente para que $f'(x)\leq 0$ para todo número real $x$.
4. $f'(a)\gt 0$ es una condición suficiente para que $f$ no tenga una valor extremo $a$.

Una condición necesaria para que $x=1$ sea solución de la ecuación es que $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=0$. Es decir que $a+b+c=0$.
Esta condición es suficiente si $a+b+c=0$, entonces $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=0$, significa que $x=1$ es solución de la ecuación $ax^2+bx+c=0$.