Capítulo 16Espacios vectoriales

TeoríasDimensión

Abordaremos un tema que les ha interesado a muchos autores de ciencia ficción, el concepto de dimensión. Como vamos a verlo, vamos a trabajar con dimensión $1$, $2$, $3$, $4$, etc. sin ningún problema.

Como primer paso, antes de dar la definición de dimensión, definimos la noción de «dimensión finita” y de «dimensión infinita”.Después en el marco de la dimensión finita, definiremos la noción de dimensión.

Definición
Un espacio vectorial $E$ se dice que es de dimensión finita si posee una familia generadora finita. En caso contrario, $E$ se dice que es de dimensión infinita.

Hemos visto que $\{1,X,X^2\}$ es una familia generadora de $\R_2[X]$ por lo tanto, $\R_2[X]$ es un espacio vectorial de dimensión finita.

Sea $E=\R[X]$. Mostremos que $E$ es de dimension infinita por un razonamiento de reducción al absurdo.

Supongamos $E$ de dimensión finita. Así que existe una familia generadora de $E$ con un número finito de elementos. Sea $p$ grado máximo de esta familia. Al tomar combinaciones lineales de los elementos de esta familia, el grado de esta combinación lineal será siempre inferior (o igual) a $p$. Por lo tanto es imposible obtener un polinomio de grado $(p+1)$. Contradicción.Así hemos demostrado que $E=\R[X]$ es de dimensión infinita.

Teorema y definición
Sea $E$ un $E$-espacio vectorial, distinto de $\{0_E\}$, de dimensión finita. Todas las bases de $E$ tienen el mismo número de elementos. Este número de elementos es la dimensión de $E$, se denota $\Dim(E)$.
Obvia !
El caso del espacio vectorial $\{0_E\}$no entra en el marco de nuestra definición. En efecto, este espacio vectorial no admite ninguna familia linealmente independiente o de base…Por convención : $\Dim(\{0_E\})=0$.

Intuitivamente, la noción de dimension caracteriza «el tamaño» de un espacio vectorial, de un subespacio vectorial. El teorema siguiente precisa esto.

Teorema

Sea $E$ un $E$-espacio vectorial de dimensión finita y $F$ un subespacio vectorial de $E$.

  • $F$ es de dimensión finita y $\Dim(F)\le \Dim(E)$.
  • $\Dim(F)=\Dim(E)$ si y solamente si $E=F$.
Obvia !