Capítulo 14Lógica

Las expresiones « cualquiera… » y « para todo… » permiten considerar todos los elementos de un conjunto, sin excepción. En lenguaje matemático lo denotamos con el símbolo « ∀… ».

La proposición « $\forall x\in \R,\ x^2\geq 0$ » se lee « para cualquier número real $x$, $x^2\geq 0$ » o « para todo número real $x$, $x^2\geq 0$ ». Esto significa, que el cuadrado de cualquier número real es siempre positivo, sin excepción.

La expresión « si existe… » significa que podemos encontrar al menos un elemento del conjunto con la propiedad establecida. En lenguaje matemático, se denota « ∃… ».

1. 1. La proposición « $\exists (a,b)\in \R^2,\ \sqrt{a+b}=3$ » se lee « existe un par de números reales $a$ y $b$ tales que $\sqrt{a+b}=3$ ». Esto significa que es posible encontrar dos números reales con esta propiedad, por ejemplo tomando $a=13$ y $b=-4$. Aquí, esta propiedad no se cumple para cualquier par ($\sqrt{a+b}$ no esta definida para algunos casos).
2. 2. La proposicion « $\exists x\in \R,\ x^2\geq 0$ » se lee « existe un número real $x$ tal que $x^2\geq 0$ ». La propiedad $x^2\geq 0$ es verdadera para todos los números reales $x$, por lo tanto existe al menos un núemros real que satisface la propiedad. Sea $x$ un número real, veamos que se cumple la propiedad, por ejemplo $x=1$.

1. Para demostar que una proposición que involucra « existe… » por lo general, es suficiente encontrar un ejemplo.
2. Para demostar que una proposición que comienza con « para todo… » es cierta, es necesario validad todos los casos y no quedarse con uno o muchos, ejemplos.
3. Para mostar que una proposición que comienza con « existe… » es falsa , es necesario mostrar que no existe ningún elemento que satisface la propiedad es decir que para todos los elementos que se evaluen la propiedad es falsa. Esto es equivalente a demostrar una proposición de la forma « para todo… ».
4. Para demostar que una proposición que comienza con « para todo… » es falsa, es suficiente probar que existe al menos un elemento que no cumple la propiedad, es decir un contra–ejemplo para mosrtar que la propiedad es falsa . Es similar a demostar una proposición que involucra « existe… ».

1. Existen dos soluciones reales de la ecuación $\tan ⁡x=x$. En efecto, $x=0$ es una solución, es inutil checar todas las soluciones de la ecuación, una es suficiente.
2. Para todos los números reales $a$ y $b$ positivos, $\frac{(a+b)}{2} \geq \sqrt{ab}$.
   En efecto, ${(\sqrt a-\sqrt b)}^2\geq 0\implies {\sqrt a}^2+{\sqrt b}^2-2\sqrt a \sqrt b\geq 0\implies a+b\geq 2\sqrt{ab}$. Se dice que la media aritmética de dos numeros positivos es mayor que su media geométrica. La prueba de la propiedad debe hacerse para dos números cualesquiera. Demostar la propiedad para algunos pares (1 y 2, 5 y 100, etc.) no demuestra la propiedad para cualquier pareja.
3. La proposición « Existen dos números enteros estrictamente positivos donde n es mayor a su cuadrado » es falsa. Sea $n$ un entero tal ($n\geq 0$). Resolvamos la inecuación $n\gt n^2$: $n-n^2\gt 0$ sea $n(1-n)\gt 0$ que lo implica, puisque $n\geq 0$, que $n\gt 0$ y $1-n\gt 0$ sea $1\gt n\gt 0$ o no hay un entero estrictamente comprendido entre $0$ y $1$. Nótese aquí que para demostrar que la proposición es falsa, era necesario tener en cuenta todos los números enteros y utilizar una literal que representa a cualquier número entero en los cálculos.
4. La proposición « toda sucesión estrictamente creciente admite un límite +∞ » es falsa: la sucesión definida por $u_n=\frac{n}{n+1}$ para $n\in \mathbb{N}$ es estrictamente creciente , pero su ímite es $1$.