Podemos definir el concepto de base.
Definición
Sea $E$ un $K$-espacio vectorial. Una base de $E$ es una familia linealmente independiente y generadora.
Ejemplo
Sea $E=\mathbb{R}^3$ un espacio vectorial.Sea $F$ definido por $\left\{ \begin{matrix} x & + & y & – & 2z & = & 0 \\ 2x & – & y & + & z & = & 0 \\ 8x & – & y & – & z & = & 0 \\\end{matrix} \right.$, es decir $F=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \left\{ \begin{matrix} x & + & y & – & 2z & = & 0 \\ 2x & – & y & + & z & = & 0 \\ 8x & – & y & – & z & = & 0 \\\end{matrix} \right. \right\}$.
Mostremos que $F$ es un subespacio vectorial de $E$ y determinemos una base de $F$. Vamos a obtener los dos resultados con un mismo desarrolllo.
Mostremos que $F$ es un subespacio vectorial de $E$ y determinemos una base de $F$. Vamos a obtener los dos resultados con un mismo desarrolllo.
Véase la solución
Sea $u=(x,y,z)$ un elemento de $E$. \[\begin{aligned} & u\in F\iff \left\{ \begin{matrix} x & + & y & – & 2z & = & 0 \\ 2x & – & y & + & z & = & 0 \\ 8x & – & y & – & z & = & 0 \\\end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} x & + & y & – & 2z & = & 0 \\ {} & – & 3y & + & 5z & = & 0 \\ {} & – & 9y & + & 15z & = & 0 \\\end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} x & + & y & – & 2z & = & 0 \\ {} & – & 3y & + & 5z & = & 0 \\ {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\\end{matrix} \right. \\ & \text{ }\iff \exists \alpha \in \mathbb{R} \mid \left\{ \begin{matrix} x & = & \frac75\alpha \\ y & = & \frac35\alpha \\ z & = & \alpha \\\end{matrix} \right. \\ \end{aligned}\]Pongamos $u_0=\left( \frac75,\frac35,1 \right)$. Obtenemos $u\in F\iff \exists \alpha \in \vert u=\alpha u_0$.Deducimos que $F=Vect(\{u_0\})$ y por lo tanto $F$ es un subespacio vetorial de $E$.Además, la familia $\{u_0\}$ es generadora. Es claro que esta es linealmente independiente.Por lo tanto se trata de una base de $F$.
Ejemplo
Sea $E=\mathbb{R}^3$ considerado como un espacio vectorial.Sea $G$ definido por $x+y-2z=0$, es decir $G=\bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \bigm\vert x+y-2z=0 \bigr\}$.
Mostremos que $G$ es un subespacio vectorial de $E$ y determinemos una base de $G$. Vamos a obtener los resultados con un mismo procedimiento.
Mostremos que $G$ es un subespacio vectorial de $E$ y determinemos una base de $G$. Vamos a obtener los resultados con un mismo procedimiento.
Véase la solución
Sea $u=(x,y,z)$ un elemento de $E$. \[u\in G\iff x+y-2z=0\iff \exists \alpha \in \mathbb{R},\ \exists \beta \in \mathbb{R} \vert \left\{ \begin{matrix} x & = & 2\alpha & – & \beta \\ y & = & {} & {} & \beta \\ z & = & \alpha & {} & {} \\\end{matrix} \right.\]Pedimos $v_0=(2,0,1)$ y $v_1=(-1.-1.0)$. Obtenemos : $u\in G\iff \exists \alpha \in \mathbb{R},\ \exists \beta \in \mathbb{R} \vert u=\alpha v_0+\beta v_1$.Deducimos que $G=Vect\bigl(\{v_0, v_1\}\bigr)$ y por lo tanto $G$ es un subespacio vectorial de $E$.Además, la familia $\{v_0, v_1\}$ es generadora. Es claro que es linealmente independiente.Por lo tanto se trata de una base de G.