Capítulo 2Razonamiento por recurrencia

Actividad n°1

Sea $n$ un entero natural y $A_n={10}^n-1$. Establecemos:\[P(n)=\odq A_n\text{ es divisible por }9\cdq.\]Queremos demostrar que $P(n)$ es verdad para todo entero natural $n$.

1. Inicialización: Verificamos $P(0)$ es verdad.
   $A_0=0$ entonces $P(0)$ es verdad porque $9$ divide $0$ (en efecto $0=9 \times 0$).
   La etapa de inicialización esta entonces concluida.
2. Herencia: Sea $k$ un entero natural fijo. Suponemos $P(k)$ verdad (hipótesis de recurrencia), es decir:\[9\text{ divide }{10}^k-1.\]Esto significa que existe un entero natural $p$ tal que ${10}^k-1=9p$. En particular, podemos deducir que ${10}^k=9p+1$. Estudiemos ahora la propiedad en el rango $(k+1)$.\[{10}^{k+1}-1=10\times {10}^k-1=10\times (9p+1)-1=90p+9=9(10p+1).\]Estableciendo $q=10p+1$, encontramos un entero natural tal como ${10}^{k+1}-1 =9q$. Esto prueba que $P(k+1)$ está verificada y mostramos así que esta propiedad es hereditaria.
3. Conclusión: La preposición es verdad para $n=0$, por herencia esta es entonces verdad para $n=1$, y luego para $n=2$… y así, sucesivamente, para todos los enteros naturales.
   Acabamos de demostrar que todos los enteros de la forma ${10}^n-1$ son divisibles por $9$.

Actividad n°2

Recordamos que $f(x)=ln(x)$. Establecemos:\[P(n)=\odq f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}\cdq.\]Queremos demostrar que $P(n)$ es verdad para todos los enteros naturales no nulos $n$.

1. Inicialización: Verificamos que $P(1)$ es verdad.
   Reemplazando $n$ por $1$ en esta relación, obtenemos $f'(x)=\dfrac{1}{x}$, lo cual es verdad.
   La etapa de inicialización esta entonces finalizada.
2. Herencia: Sea $k$ un entero natural fijo. Suponemos $P(k)$ verdad (hipótesis de recurrencia), es decir:\[f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k}.\]De esta hipótesis, calcularemos la derivada de orden $(k+1)$ de $f$.\[f^{(k+1)}(x)=\left(f^{(k)} \right)'(x)=\left(\frac{{(-1)}^{k+1}(k-1)!}{x^k} \right)’= (-1)^{k+1}(k-1)!\left(\frac{1}{x^k} \right)’\label{eq:a2-1}\tag{R}\]Donde, $\displaystyle{\left(\frac{1}{x^k} \right)’=(-k)\frac{1}{x^{k+1}}}$.Reemplazando $\eqref{eq:a2-1}$ obtenemos: \[f^{(k+1)}(x)=\frac{{(-1)}^{k+2}k!}{x^{k+1}}\]Esto prueba que la derivada de orden $(k+1)$ de $f$ se obtiene reemplazando $k$ por $(k+1)$ en la fórmula inicial. En consecuencia $P(k+1)$ es verificada y demostramos así que esta propiedad es hereditaria.
3. Conclusión: La proposición es verdad para $n=1$, por herencia ella es verdad para $n=1$, luego para $n=2$… y así, sucesivamente, para todos los enteros naturales.
   Demostraremos que para todo entero natural no nulo $n$, la derivada de orden $n$ de la función $f$ es igual a:\[\frac{{(-1)}^{n+1}(n-1)!}{x^n}.\]