Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs (de $P$ ou de $E$) sont dits colinéaires si et seulement si ils ont même direction.
Deux vecteurs (de $P$ ou $E$) sont dits colinéaires si et seulement si l’un d’entre eux est le produit de l’autre par un réel. Autrement dit :\[\text{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires}\iff \exists \lambda\in\R,\ \vec{v}=\lambda\vec{u}\quad\text{ou}\quad\vec{u}=\mu\vec{v}.\]
Nous pouvons simplifier cette propriété en la formulant ainsi :\[\text{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires}\iff\exists (\alpha,\beta)\in\R^2 \setminus\bigl\{(0,0)\bigr\},\ \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}.\]
Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tout autre vecteur.
Souvent, pour démontrer que des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, nous utilisons la propriété suivante : $\exists k\in\R,\;\vec{u}=k\vec{v}$.
Ce n’est pas la bonne égalité. En effet, en prenant $\vec{u}=\vec{0}$, on obtient que le vecteur nul est colinéaire qu’avec lui-même alors que le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tous vecteurs.
Or, si $\vec{u}$ n’est pas le vecteur nul, il n’existe pas de réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{0}$.Bien sûr, dans ce cas, nous écrivons $\vec{0}=0\vec{u}$ pour avoir le résultat.
Nous voulons généraliser ces notions de colinéarité et non colinéarité aux espaces vectoriels sans distinguer le fait que nous ayons ou non le vecteur nul.
La propriété de non colinéarité de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s’écrit en toute généralité :\[\text{Soient $\alpha$ et $\beta$ deux scalaires, alors } \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}\implies\alpha=\beta=0.\]En effet :
- Si $\vec{u}=\vec{0}$, on choisit $\beta=0$.
- Et si $\vec{v}=\vec{0}$, on choisit $\alpha=0$.
Enfin, si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tous les deux non nuls, nous retrouvons la formule usuelle :\[\exists k\in\R,\; \vec{u}=k\vec{v}.\]La propriété de colinéarité de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s’écrit en toute généralité :\[\text{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires}\iff\exists (\alpha,\beta)\in\R^2 \setminus\bigl\{(0,0)\bigr\},\ \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}.\]
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(x,y)$ et $(x’,y’)$ dans une base donnée. Le déterminant de $\vec{u}$, et $\vec{v}$, noté $\det\left(\vec{u},\vec{v} \right)$, est :\[\det\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\begin{vmatrix} x & x’\\ y & y’\\\end{vmatrix}=xy’-yx’.\]
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(x,y)$ et $(x’,y’)$ dans une base donnée.
\[\text{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires}\iff\det\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0.\]
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(x,y)$ et $(x’,y’)$ dans une base donnée.
- Si $\vec{u}=\vec{0}$,
alors :\[det\left(\vec{u},\vec{v} \right)=0.\]- Si $\vec{u}\ne \vec{0}$,
alors :\[\begin{align*}\text{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires}&\iff\exists\lambda\in\R,\ \vec{V}=\lambda\vec{u} \\&\iff\exists\lambda\in\R,\ x’=\lambda x\text{ et }y’=\lambda y.\end{align*}\]D’où :\[\det\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\begin{vmatrix}x & \lambda x \\y & \lambda y\end{vmatrix}=\lambda xy-\lambda yx=0.\]Réciproquement, soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(x,y)$ et $(x’,y’)$ dans une base donnée tel que $\det\left(\vec{u},\vec{v} \right)=0$.
Alors, $xy’-yx’=0$.
- Si $y\ne 0$ et $y’\ne 0$.
nous obtenons $\frac{x}{y}=\frac{x’}{y’}$.
Posons $\lambda=\frac{x}{y}=\frac{x’}{y’}$ et $\vec{w}$ le vecteur de coordonnée $(1,\lambda)$.
Alors, nous en déduisons que $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{w}$ (car $\vec{u}=x\vec{w}$) et $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{w}$ (car $\vec{v}=x’\vec{w}$). Donc, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.- Si $y=0$,
alors $\det\left(\vec{u},\vec{v} \right)=0 \implies xy’=0$.
Donc, soit $y’=0$ et alors, nous avons $\vec{u}$ de coordonnées $(x,0)$ et $\vec{v}$ de coordonnées $(x’,0)$. Nous obtenons que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
Soit $x=0$. Dans ce cas, $\vec{u}$ est le vecteur nul qui est colinéaire à tout vecteur, donc entre autre à $\vec{v}$.- Si $y’=0$,
le même raisonnement que ci-dessus donne le résultat.Dans tous les cas, nous avons démontré que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
- Le déterminant est comme nous le verrons par la suite un bon outil pour déterminer une équation cartésienne de droite dans le plan.
- Nous avons vu ici la notion de déterminant dans le plan. Une généralisation de cette notion à l’espace est possible mais hors propos dans ce module. Elle sera faite en année ultérieure.
Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs de $E$ sont dits coplanaires si et seulement si ils sont dans un même plan.
Trois vecteurs de $E$ sont dits coplanaires si et seulement si l’un d’entre eux est combinaison linéaire des deux autres, c’est-à-dire qu’il s’exprime en fonction des deux autres.
Autrement dit :\[\begin{align*}\text{$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires} &\iff\exists (a,b)\in\R^2,\ \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} \\&\iff\exists (a,b)\in\R^2,\ \vec{v}\,=c\vec{u}\,+d\vec{w} \\&\iff\exists (a,b)\in\R^2,\ \vec{u}\,=e\vec{v}\,+f\vec{w}.\\\end{align*}\]
Nous pouvons simplifier cette propriété en la formulant ainsi :\[\text{$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires}\iff\exists (\alpha,\beta,\gamma)\in\R^3,\ \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}.\]
Une base de $E$ est un système de trois vecteurs non coplanaires.