Propriétés de base
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, alors pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$ de $I$, nous avons :\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\int_a^c{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_c^b{f(x)\;\mathrm{d}x}.\]Voir l'animation
Supposons d’abord que $f$ est positive sur $I$.
Dans ce cas, la relation de Chasles résulte de $\mathrm{aire}(\Delta_f)=\mathrm{aire}(\Delta)+\mathrm{aire}(\Delta’)$
Nous admettrons la validité de cette propriété dans le cadre général.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.
Alors pour tous nombres réels $a$ et $b$ de $I$, et tout réel $\alpha$ nous avons :
- $\displaystyle\int_a^b{\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\;\mathrm{d}x}=\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_a^b{g(x)\;\mathrm{d}x}$
- $\displaystyle\int_a^b{\alpha f(x)\;\mathrm{d}x}=\alpha \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$
Cette propriété est admise.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I$.
Alors pour tous nombres réels a et $b$ de $I$ tels que $a\le b$, nous avons :\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}\ge 0.\]
Soit $f$ continue et positive sur $I$, son intégrale est, par définition, une aire donc positive.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.
Si $f\le g$ alors pour tous nombres réels a et $b$ de $I$ tels que $a\le b$, nous avons :\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}\le \int_a^b{g(x)\;\mathrm{d}x}.\]
Si $f\le g$ alors $g-f$ est continue et positive, la positivité de l’intégrale entraîne : \[\int_a^b{(g-f)(x)\;\mathrm{d}x}\ge 0.\]C’est-à-dire :\[\int_a^b{g(x)\;\mathrm{d}x}\ge \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}.\]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Soient $m$ et $M$ deux réels tels que, pour tout $x$ de $[a,b]$, on ait $m\le f(x)\le M$, alors :\[m(b-a)\le \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}\le M(b-a).\]
Si pour tout $x$ de $[a,b]$, $m\le f(x)\le M$, on a, d’après la propriété précédente : \[\int_a^b{m}\;\mathrm{d}x\le \int_a^b{f(x)}\;\mathrm{d}x\le \int_a^b{M}\;\mathrm{d}x.\]C’est-à-dire :\[m(b-a)\le \displaystyle\int_a^b{f(x)}\;\mathrm{d}x\le M(b-a).\]
Calculer $J=\displaystyle\int_{-1}^2{\bigl(\vert t-1 \vert+2 \bigr)}\;\mathrm{d}t$.
En appliquant la linéarité de l’intégrale, on obtient :\[J=\int_{-1}^2{\left(\left| t-1\right|+2 \right)}\;\mathrm{d}t=\int_{-1}^2{\left| t-1 \right|}\;\mathrm{d}t+\int_{-1}^2{2\;\mathrm{d}t}.\]La relation de Chasles donne :\[J=\int_{-1}^1{\left| t-1 \right|}\;\mathrm{d}t+\int_1^2{\left| t-1 \right|}\;\mathrm{d}t+\int_{-1}^2{2\;\mathrm{d}t}\]En enlevant les valeurs absolues, on obtient :\[J=\int_{-1}^1{(1-t)}\;\mathrm{d}t+\int_1^2{(t-1)}\;\mathrm{d}t+\int_{-1}^2{2\;\mathrm{d}t}\]La linéarité de l’intégrale donne de nouveau :\[J=\int_{-1}^1{1}\;\mathrm{d}t-\int_{-1}^1{t}\;\mathrm{d}t+\int_1^2{t}\;\mathrm{d}t-\int_1^2{1}\;\mathrm{d}t+\int_{-1}^2{2\;\mathrm{d}t}\]Le calcul des intégrales figurant dans la dernière somme se fait grâce à la définition de l’intégrale.
On trouve :\[J=2-0+\frac{3}2-1+2\times 3=\frac{17}{2}.\]
On considère, pour $n\in \N^*$, la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ définie par ${I_n}=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)\;\mathrm{d}x}$.
Sans calculer cette intégrale, montrer que la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ vérifie pour $n\in \N^*$, $0\le {I_n}\le \dfrac{\pi}{2}$ et qu’elle est décroissante.
Pour tout $n\in \N^*$ et tout $x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$, on a $0\le {\sin^n}(x)\le 1$.
En intégrant cette inégalité entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, il vient :\[\int_0^{\pi/2}{0}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{1}\;\mathrm{d}t\]c’est-à-dire :\[0\le I_n\le \frac{\pi}{2}.\]Par ailleurs, pour tout $x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$, on a $0\le \sin(x)\le 1$.
Donc :\[\forall n\in \N^*,\;0\le {\sin^{n+1}}(x)\le {\sin^n}(x).\]En intégrant cette nouvelle inégalité entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, il vient :\[\int_0^{\pi/2}{0}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^{n+1}(x)}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)}\;\mathrm{d}t\]Ceci prouve que ${I_{n+1}}\le {I_n}$, c’est-à-dire que la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ est décroissante.
Valeur moyenne d’une fonction
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est le nombre réel :\[m=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}.\]Voir l'animation
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.Alors il existe un nombre réel $c$ élément de $[a,b]$ tel que :\[f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}\]
On suppose la fonction $f$ croissante. Le résultat sera admis dans le cas général. On distingue deux cas.
- Si $a \lt b$.
Puisque $f$ est croissante, pour tout réel $x$ dans $[a,b]$, $f(a)\le f(x)\le f(b)$.
Il s’en suit, d’après l’inégalité de la moyenne, que :\[(b-a)f(a)\le \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}\le (b-a)f(b).\]Puisque $b−a \gt 0$ :\[f(a)\le \frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)}\;\mathrm{d}x\le f(b).\]Le réel $m=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$ est dans l’intervalle $\bigl[f(a),f(b)\bigr]$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires ($f$ est continue dur $[a,b]$), il existe un réel $c$ dans $[a,b]$ tel que :\[f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)}\;\mathrm{d}x\]- Si $a \gt b$.
Dans ce cas, $\displaystyle\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=-\int_b^a{f(x)\;\mathrm{d}x}$ et puisque $b\lt a$, d’après le cas précédent, il existe $c$ dans $[b,a]$ tel que : \[f(c)=\frac{1}{a-b}\int_b^a{f(x)\;\mathrm{d}x}=-\frac{1}{a-b}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}.\]Ce qui démontre le théorème dans ce second cas.
Lorsque $f$ est continue et positive sur $[a,b]$, l’aire du domaine situé sous la courbe $C_f$ de $f$ coïncide avec celle du rectangle de dimensions $m$ et $b-a$.