Dans le plan $P$
Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites non parallèles de vecteurs directeurs respectifs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
Tout vecteur $\vec{u}$ du plan se décompose de manière unique en la somme d’un vecteur $\overrightarrow{u_1}$ colinéaire à $\vec{i}$ et d’un vecteur $\overrightarrow{u_2}$ colinéaire à $\vec{j}$ :\[\vec{u}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}.\]La projection $p_1$ sur $D_1$ parallèlement à $D_2$ est alors définie par :\[p_1\left(\vec{u} \right)=\overrightarrow{u_1}.\]La symétrie $s_1$ par rapport à $D_1$ parallèlement à $D_2$ est alors définie par :\[s_1\left(\vec{u} \right)=\overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2}.\]Voir l'animation
- Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$,\[p\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=p\left(\vec{u}\right)+p\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad p\left(k\vec{u}\right)=k p\left(\vec{u}\right).\]
- Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$,\[s\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=s\left(\vec{u}\right)+s\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad s\left(k\vec{u}\right)=k s\left(\vec{u}\right).\]
$\Id$ désigne l’application identité du plan ; cela signifie que $\Id$ est l’application du plan dans lui-même qui à un vecteur $\vec{u}$ associe lui-même, c’est-à-dire $\vec{u}$.
$p\circ p=p$ et $s\circ s=\Id$ où $\Id$ désigne l’application identité du plan.
Les éléments caractéristiques de $p$ et de $s$, $D_1$ et D2, sont définis par :\[D_1=\left\{\vec{u}\in P\mid p\left(\vec{u} \right)=\vec{u} \right\}\quad\text{et}\quad D_2=\left\{\vec{u}\in P\mid p\left(\vec{u} \right)=\vec{0} \right\}\]\[D_1=\left\{\vec{u}\in P\mid s\left(\vec{u} \right)=\vec{u} \right\}\quad\text{et}\quad D_2=\left\{\vec{u}\in P\mid s\left(\vec{u} \right)=-\vec{u} \right\}\]
Dans l’espace $E$
Soient $P$ un plan de base $\left(\vec{i},\vec{j}\right)$ et $D$ une droite non incluse dans $P$ de vecteur directeur $\vec{k}$, c’est-à-dire $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ non coplanaires.
Tout vecteur $\vec{u}$ du plan se décompose de manière unique en la somme d’un vecteur $\overrightarrow{u_1}$ coplanaire à $\left(\vec{i},\vec{j}\right)$ et d’un vecteur $\overrightarrow{u_2}$ colinéaire à $\vec{k}$ : \[\vec{u}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}.\]La projection $p_1$ sur $D$ parallèlement à $P$ est alors définie par :\[p_1\left(\vec{u}\right)=\overrightarrow{u_2}.\]La symétrie $s_1$ par rapport à $D$ parallèlement à $P$ est alors définie par : \[s_1\left(\vec{u}\right)=\overrightarrow{u_2}-\overrightarrow{u_1}.\]Voir l'animation]
- Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$,\[p_1\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=p_1\left(\vec{u}\right)+p_1\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad p_1\left(k\vec{u}\right)=k p_1\left(\vec{u}\right).\]
- Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$,\[s_1\left(\vec{u}+\vec{v} \right)=s_1\left(\vec{u} \right)+s_1\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad s_1\left(k\vec{u}\right)=k s_1\left(\vec{u}\right).\]
$p_1\circ p_1=p_1$ et $s_1\circ s_1=\Id$ où $\Id$ désigne l’application identité de l’espace.
Les éléments caractéristiques de $p_1$ et de $s_1$, $P$ et $D$, sont définis par :\[D=\left\{\vec{u}\in E\mid p_1\left(\vec{u}\right)=\vec{u}\right\}\quad\text{et}\quad P=\left\{\vec{u}\in E\mid p_1\left(\vec{u}\right)=\vec{0}\right\}\]\[D=\left\{\vec{u}\in E\mid s_1\left(\vec{u}\right)=\vec{u}\right\}\quad\text{et}\quad P=\left\{\vec{u}\in E\mid s_1\left(\vec{u}\right)=-\vec{u}\right\}\]
La projection $p_2$ sur $P$ parallèlement à $D$ est alors définie par : $p_2\left(\vec{u} \right)=\overrightarrow{u_1}$.La symétrie $s_2$ par rapport à $P$ parallèlement à $D$ est alors définie par : $s_2\left(\vec{u} \right)=\overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2}$.
- Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$,\[p_2\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=p_2\left(\vec{u}\right)+p_2\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad p_2\left(k\vec{u}\right)=k p_2\left(\vec{u}\right).\]
- Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$,\[s_2\left(\vec{u}+\vec{v} \right)=s_2\left(\vec{u} \right)+s_2\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad s_2\left(k\vec{u}\right)=k s_2\left(\vec{u}\right).\]
$p_2\circ p_2=p_2$ et $s_2\circ s_2=\Id$ où $\Id$ désigne l’application identité de l’espace.
Les éléments caractéristiques de $p_2$ et de $s_2$, $P$ et $D$, sont définis par :\[P=\left\{\vec{u}\in E\mid p_2\left(\vec{u}\right)=\vec{u}\right\}\quad\text{et}\quad D=\left\{\vec{u}\in E\mid p_2\left(\vec{u}\right)=\vec{0}\right\}\]\[P=\left\{\vec{u}\in E\mid s_2\left(\vec{u}\right)=\vec{u}\right\}\quad\text{et}\quad D=\left\{\vec{u}\in E\mid s_2\left(\vec{u}\right)=-\vec{u}\right\}\]