Chapitre 13Calcul vectoriel

Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites non parallèles de vecteurs directeurs respectifs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
Tout vecteur $\vec{u}$ du plan se décompose de manière unique en la somme d’un vecteur $\overrightarrow{u_1}$ colinéaire à $\vec{i}$ et d’un vecteur $\overrightarrow{u_2}$ colinéaire à $\vec{j}$ : $$\vec{u}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}.$$ La projection $p_1$ sur $D_1$ parallèlement à $D_2$ est alors définie par : $$p_1\left(\vec{u} \right)=\overrightarrow{u_1}.$$ La symétrie $s_1$ par rapport à $D_1$ parallèlement à $D_2$ est alors définie par : $$s_1\left(\vec{u} \right)=\overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2}.$$ Voir l'animation

1. Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$, $$p\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=p\left(\vec{u}\right)+p\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad p\left(k\vec{u}\right)=k p\left(\vec{u}\right).$$
2. Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$, $$s\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=s\left(\vec{u}\right)+s\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad s\left(k\vec{u}\right)=k s\left(\vec{u}\right).$$

$\Id$ désigne l’application identité du plan ; cela signifie que $\Id$ est l’application du plan dans lui-même qui à un vecteur $\vec{u}$ associe lui-même, c’est-à-dire $\vec{u}$.

$p\circ p=p$ et $s\circ s=\Id$ où $\Id$ désigne l’application identité du plan.

Soient $P$ un plan de base $\left(\vec{i},\vec{j}\right)$ et $D$ une droite non incluse dans $P$ de vecteur directeur $\vec{k}$, c’est-à-dire $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ non coplanaires.
Tout vecteur $\vec{u}$ du plan se décompose de manière unique en la somme d’un vecteur $\overrightarrow{u_1}$ coplanaire à $\left(\vec{i},\vec{j}\right)$ et d’un vecteur $\overrightarrow{u_2}$ colinéaire à $\vec{k}$ : $$\vec{u}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}.$$ La projection $p_1$ sur $D$ parallèlement à $P$ est alors définie par : $$p_1\left(\vec{u}\right)=\overrightarrow{u_2}.$$ La symétrie $s_1$ par rapport à $D$ parallèlement à $P$ est alors définie par : $$s_1\left(\vec{u}\right)=\overrightarrow{u_2}-\overrightarrow{u_1}.$$ Voir l'animation]

1. Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$, $$p_1\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=p_1\left(\vec{u}\right)+p_1\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad p_1\left(k\vec{u}\right)=k p_1\left(\vec{u}\right).$$
2. Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$, $$s_1\left(\vec{u}+\vec{v} \right)=s_1\left(\vec{u} \right)+s_1\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad s_1\left(k\vec{u}\right)=k s_1\left(\vec{u}\right).$$

$p_1\circ p_1=p_1$ et $s_1\circ s_1=\Id$ où $\Id$ désigne l’application identité de l’espace.

1. Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$, $$p_2\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=p_2\left(\vec{u}\right)+p_2\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad p_2\left(k\vec{u}\right)=k p_2\left(\vec{u}\right).$$
2. Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tout réel $k$, $$s_2\left(\vec{u}+\vec{v} \right)=s_2\left(\vec{u} \right)+s_2\left(\vec{v}\right)\quad\text{et}\quad s_2\left(k\vec{u}\right)=k s_2\left(\vec{u}\right).$$

$p_2\circ p_2=p_2$ et $s_2\circ s_2=\Id$ où $\Id$ désigne l’application identité de l’espace.