Le théorème fondamental de ce chapitre permet de fournir un procédé pour calculer une intégrale à partir d’une primitive. Il donne un lien très étroit entre le calcul intégral et le calcul de primitive de fonction continue.
Le théorème fondamental du calcul intégral
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$.
Soit $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$.
Alors :\[\int_a^b{f(t)\;\mathrm{d}t}=F(b)-F(a).\]On notera :\[\int_a^b{f(t)\;\mathrm{d}t}=\bigl[F(t)\bigr]_a^b=F(b)-F(a).\]
D’après le théorème précédent, la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\displaystyle\int_a^x{f(t)\;\mathrm{d}t}$ est l’unique primitive de $f$ sur $I$ vérifiant $G(a)=0$.
Par ailleurs, la fonction $u$ définie sur $I$ par $u(x)=F(x)-F(a)$ est aussi une primitive de $f$ s’annulant en $a$. Les fonctions $G$ et $u$ sont donc égales sur $I$.
En particulier, $G(a)=u(a)$, c’est-à-dire $\displaystyle\int_a^b{f(t)\;\mathrm{d}t}=F(b)-F(a)$.
Calculer $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\left(x+\sin(x) \right)\;\mathrm{d}x}$.
Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=x+\sin(x)$ sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ est la fonction définie par :\[F(x)=\frac{x^2}{2}-\cos(x).\]D’où :\[\begin{align*}I&=\int_0^{\pi/2}{\bigl(x+\sin(x)\bigr)\;\mathrm{d}x} \\&=\left[\frac{x^2}{2}-\cos(x) \right]_0^{\pi/2}=\left(\frac{\pi^2}{8}-0 \right)-(0-1)=\frac{\pi^2}{8}+1.\end{align*}\]
La méthode d’intégration par parties
Le théorème suivant, bien que simple en apparence et très simple dans sa démonstration, donne de nombreuses possibilités d’intégrer un produit (malgré des hypothèses et un cadre qui peuvent paraître artificiel).
Soient $u$ et $v$ deux fonctions admettant des dérivées continues sur un intervalle $I$. Alors pour tous réels a et $b$ de $I$, on dispose de formule d’intégration dite intégration par par-ties :\[\int_a^b{u(x)v'(x)}\;\mathrm{d}x=\bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b-\int_a^b{u'(x)v(x)}\;\mathrm{d}x\]
De la formule de dérivation d’un produit $(uv)’=u’v+uv’$, on tire $uv’=(uv)’-u’v$.
Les fonctions $uv’,(uv)’$ et $u’v$ étant continues sur $I$, on peut intégrer, entre $a$ et $b$, la relation $uv’=(uv)’-u’v$.
On obtient alors \[\int_a^b{u(x)v’}(x)\;\mathrm{d}x=\int_a^b{(uv})'(x)\;\mathrm{d}x-\int_a^b{u'(x)v}(x)\;\mathrm{d}x.\]Or, la fonction $uv$ est une primitive de $(uv)’$ sur $I$, donc $\displaystyle\int_a^b{(u\ v)'(x)}\;\mathrm{d}x=\bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b$.
Par suite, on a bien :\[\int_a^b{u(x)\ v'(x)}\;\mathrm{d}x=\bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b-\int_a^b{u'(x)\ v(x)}\;\mathrm{d}x.\]
Calculer $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{x\cos(x)\;\mathrm{d}x}$.
On utilise la méthode de l’intégration par parties. Pour cela on pose :\[\begin{cases}& u(x)=x \\& v'(x)=\cos(x) \\\end{cases}\text{ d’où }\begin{cases}& u'(x)=1 \\& v(x)=\sin(x) \\\end{cases}\]Les fonctions $u$ et $v$ sont bien dérivables, de dérivées continues sur $\left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]$.Le calcul donne :\[I=\int_0^{\pi/2}{x\cos(x)\;\mathrm{d}x}=\bigl[x\sin(x)\bigr]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}{\sin(x)\;\mathrm{d}x}=\frac{\pi}{2}-\int_0^{\pi/2}{\sin(x)\;\mathrm{d}x}\]La dernière intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\sin(x)\;\mathrm{d}x}$ est facile est calculer, elle vaut $\bigl[-\cos(x) \bigr]_0^{\pi/2}=1$.
Par suite, $I=\dfrac{\pi}{2}-1$.