Nous avons vu en activité préparatoire que la fonction $S$ (aire) vérifie :\[\forall x\in [a,b],\;S'(x)=f(x)\]Nous allons maintenant nous intéresser à toutes les fonctions ayant cette propriété.
Notion de primitive
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$, telle que, pour tout $x$ dans $I$, $F'(x)=f(x)$.
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-1$.
Alors la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=x^2-x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=x^2-x-5$ est une autre primitive de $f$ sur $\R$.
En effet, on vérifie que $F’=G’=f$.
Ensemble des primitives d’une fonction continue sur un intervalle
Le théorème suivant affirme que si on connaît une primitive d’une fonction $f$ sur l’intervalle $I$, alors on les connaît toutes.
Soit $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $f$ admet une infinité de primitives sur $I$.Toute autre primitive de $f$ sur $I$ est définie par :\[G(x)=F(x)+k\quad\text{où $k$ est une constante réelle.}\]En particulier, si $x_0\in I$ et $y_0$ est un réel quelconque, alors il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que : $G(x_0)=y_0$.
Si $F$ est dérivable sur $I$ et $F’=f$, alors la fonction $G$ est aussi dérivable sur $I$ avec $G’=F’+k’=f+0=f$. Donc $G$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Réciproquement, si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $G’=f=F’$ d’où $G’− F’=0$.La dérivée de la fonction $G−F$ est nulle sur l’intervalle $I$ donc $G−F$ est constante sur $I$.
Ainsi, il existe un réel $k$ tel que pour tout $x$ de $I$, $G(x)−F(x)=k$, ce qui prouve la réciproque.Pour la seconde partie du théorème, on remarque que si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, toute autre primitive $G$ est définie par $G(x)=F(x)+k$ avec $k$ réel.
La condition $G(x_0)=y_0$ nous permet alors d’obtenir une unique valeur pour $k$, à savoir :$k=y_0-F(x_0)$
Enfin, on vérifie que la fonction définie sur $I$ par $G(x)=F(x)+y_0-F(x_0)$ est bien la primitive de $f$ vérifiant la condition $G(x_0)=y_0$.
Ce théorème tombe en défaut si $I$ n’est pas un intervalle, comme le montre l’exemple de la fonction $f$ définie sur $\R^*$ (qui n’est pas un intervalle) par $f(x)=\dfrac{x}{\left|x\right|}$.
La dérivée de $f$ est nulle sur $\R^*$, mais vaut $1$ pour $x\gt 0$ et $-1$ pour $x\lt 0$ ; elle n’est donc pas constante.
- Les primitives de la fonction de l’exemple précédent définie sur par :$f(x)=2x-1$
sont les fonctions de la forme : $F(x)=x^2-x+k$, où $k$ est une constante réelle arbitraire.Ces primitives sont définies sur $\R$. - Les primitives de la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\sin(x)$ sont les fonctions définies sur $\R$ par $F(x)=x\cos(x)-\sin(x)+k$, où $k$ est une constante réelle.
Pour le vérifier, il suffit de dériver dans chaque cas que $F’=f$.
Dans le second exemple, on vérifie que $F'(x)=f(x)$. Pour trouver (sans connaître à priori) la primitive de $f$, on emploie une intégration par partie.
Existence de primitives pour une fonction continue sur un intervalle
Le théorème suivant est fondamental. Il assure l’existence d’une primitive, pour une fonction continue sur un intervalle.
Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
Plus précisément, pour tout $a$ réel dans $I$, la fonction $F$ définie sur $I$ par : $F(x)=\int_a^x{f(t)\;\mathrm{d}t}$ est l’unique primitive de $f$ sur $I$ vérifiant $F(a)=0$.
La relation $F(a)=0$ est une conséquence de la définition. En effet, on a \[F(a)=\int_a^a{f(t)\;\mathrm{d}t}=0.\]Prouvons maintenant que $F$ est dérivable en tout point $x_0$ de $I$ et que $F'(x_0)=f(x_0)$.
Pour réel $h\gt 0$, tel que $x_0+h$ est dans $I$, on peut écrire :\[\begin{align*}F(x_0+h)-F(x_0)&=\int_a^{x_0+h}{f(t)\;\mathrm{d}t}-\int_a^{x_0}{f(t)\;\mathrm{d}t} \\&=\int_a^{x_0+h}{f(t)\;\mathrm{d}t}+\int_{x_0}^a{f(t)\;\mathrm{d}t} \\&=\int_{x_0}^{x_0+h}{f(t)\;\mathrm{d}t}.\end{align*}\]Le théorème de la moyenne montre l’existence d’un réel $c$ entre $x_0$ et $x_0+h$ tel que :$\displaystyle\int_{x_0}^{x_0+h}{f(t)\;\mathrm{d}t}=(x_0+h-x_0)f(c)=hf(c)$.
Lorsque tend vers $0$, $c$ tend vers $x_0$ et, $f$ étant continue, la quantité $f(c)$ tend vers $f(x_0)$.
Par conséquent, la quantité $\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}h=f(c)$ tend vers $f(x_0)$.
Ce qui prouve que $F$ est dérivable en $x_0$ et que $F'(x_0)=f(x_0)$.
La fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$ est une primitive de $f(x)=\sqrt{x}$.