Nous allons étudier la fonction « aire » dans un cas particulier.
Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle $[a,b]$. L’unité d’aire est l’aire du rectangle hachuré.
Pour tout réel $t$ de $[a,b]$, on désigne par $S(t)$ l’aire du domaine limité par la courbe représentative de $f$ notée $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$.
Soit $h$ un réel strictement positif. Encadrons la différence $S(t+h)-S(t)$ en l’interprétant en terme d’aire à l’aide de la fonction $f$, et déduisons-en la limite $\lim\limits_{h\to 0^+}\;\dfrac{S(t+h)-S(t)}{h}$.
Nous avons les inégalités :\[hf(t)\le S(t+h)-S(t)\le hf(t+h)\]D’où, $h$ étant strictement positif, $f(t)\le \dfrac{S(t+h)-S(t)}{h}\le f(t+h)$.
$f$ étant continue, nous avons $\lim\limits_{h\to 0^+}{1}\;f(t+h)=f(t)$.D’après le théorème des gendarmes, nous en déduisons :\[\lim\limits_{h\to 0^+}{1}\;\dfrac{S(t+h)-S(t)}h=f(t).\]
Soit $h$ un réel strictement négatif. Encadrons la différence $S(t)-S(t+h)$ en l’interprétant en terme d’aire à l’aide de la fonction $f$ et déduisons-en la limite $\lim\limits_{h\to 0^-}\;\dfrac{S(t)-S(t+h)}{h}$.
La même démarche que précédemment nous amène :\[\lim\limits_{h\to 0^-}\;\frac{S(t)-S(t+h)}h=f(t).\]
Grâce aux résultats $\lim\limits_{h\to 0^+}\;\dfrac{S(t+h)-S(t)}h=f(t)$ et $\lim\limits_{h\to 0^-}\;\dfrac{S(t)-S(t+h)}h=f(t)$, nous en déduisons que la fonction $S$ est dérivable en $x$ et que pour tout $x$ de $[a,b]$ : $S'(x)=f(x)$.
La fonction $S$ est appelée une primitive de $f$ sur $[a,b]$.