Dans ce chapitre, on se placera indifféremment dans l’espace des points (espace affine) ou dans l’espace des vecteurs (espace vectoriel) muni de la distance usuelle.
On notera $E$ l’espace des vecteurs de dimension $3$ et $P$ celui de dimension $2$.
Définition élémentaire d’un vecteur
Soient $A$ et $B$ deux points du plan ou de l’espace usuel. Nous pouvons associer à ces deux points le vecteur $\overrightarrow{AB}$, représenté par une flèche.
Un vecteur non nul est défini par trois données :
- sa direction,
- son sens,
- sa longueur (ou sa norme).
- Le vecteur défini par les points $A$ et $B$ (dans cet ordre) est noté $\overrightarrow{AB}$ ; l’origine d’un vecteur n’ayant pas d’importance, on notera aussi un vecteur $\vec{u}$.
- Le vecteur nul, définit par exemple par $\overrightarrow{AA}$, sera noté $\vec{0}$.
- La distance entre deux points $A$ et $B$ est notée $AB$. En terme de vecteur, cette distance est la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$, elle est notée $\left\|\overrightarrow{AB}\right\|$.
Ainsi, les points $A$ et $B$ n’interviennent que pour définir ses trois données. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ci-dessous sont égaux (mêmes direction, sens et longueur).
Donc, on représentera un vecteur par une flèche dont l’origine n’a pas d’importance, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Voir l'animation
Cette notion de vecteurs a des applications en Mathématiques, mais aussi en Physique, Mécanique… Il permet de modéliser les concepts de vitesse, d’accélération, de champ électrique…
Soit $\mathscr{B}=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3} \right)$ une base de $E$. Tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique sous la forme : $\vec{v}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}$ avec $(x,y,z)$ élément de $\R^3$.
$x$, $y$, $z$ s’appellent les coordonnées de $\vec{v}$ dans la base $\mathscr{B}=\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\right)$.
Soient $O$ un point de $E$ et $A$ un point quelconque de $E$. Les coordonnées de $\overrightarrow{OA}$ dans la base $B$ sont les coordonnées de $A$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\right)$.
Définition analogue dans le cas du plan.
Dans un repère du plan ou de l’espace, un vecteur peut être défini par ses coordonnées (on dit aussi ses composantes).
- Dans le plan, en notant $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A,y_B-y_A)$. On notera : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A)$.
- Dans l’espace, en notant $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$. On notera : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si leurs coordonnées dans un repère donné sont égales.
Opérations sur les vecteurs
Nous définissons alors des opérations sur les vecteurs : somme de deux vecteurs, produit d’un vecteur par un nombre (appelé aussi scalaire),… et nous définissons des transformations sur les vecteurs telles que la symétrie ou la projection que nous verrons dans la suite de ce chapitre.
D’un point de vue géométrique, la somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s’effectue de la manière suivante :
On construit deux points $A$ et $B$ tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, puis un point $C$ tel que $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$.
Alors, la somme $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ est égale par définition au vecteur $\overrightarrow{AC}$.
La règle de construction de la somme de deux vecteurs permet d’énoncer la célèbre relation suivante.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. Alors :\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\]
La somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ peut aussi s’effectuer de la manière suivante :
Soit $A$ un point fixé (arbitrairement). On construit deux points $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$.
Nous construisons alors le point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
Alors, la somme $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ est égale par définition au vecteur $\vec{w}=\overrightarrow{AD}$.
Les coordonnées d’un vecteur sont la somme des coordonnées, c’est-à-dire :
- Dans le plan, avec $\vec{u}(x,y)$ et $\vec{v}(x’,y’)$, nous avons :\[\vec{u}+\vec{v}(x+x’,y+y’).\]
- Dans l’espace, avec $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x’,y’,z’)$, nous avons :\[\vec{u}+\vec{v}(x+x’,y+y’,z+z’).\]
- Somme de vecteurs dans $\R^2$ Voir l'animation
- Somme de vecteurs dans $\R^3$ Voir l'animation
Soit $\vec{u}$ un vecteur et $\lambda$ un réel.
Les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ multiplié par le scalaire $\lambda$, noté $\lambda\vec{u}$ sont :
- $(\lambda x,\lambda y)$ dans le plan, avec $\vec{u}(x,y)$,
- $(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ dans l’espace, avec $\vec{u}(x,y,z)$.
$\lambda\vec{u}$ est un vecteur colinéaire, c’est-à-dire de même direction à $\vec{u}$.
- Multiplication d’un vecteur dans $\R^2$ Voir l'animation
- Multiplication d’un vecteur dans $\R^3$ Voir l'animation
Soient trois points $A(1,-1)$, $B(2,3)$ et $C(5,2)$.
Calculer les coordonnées du point $D$ afin que, dans cet ordre, $ABCD$ soit un parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Soit $(x,y)$ les coordonnées du point $D$.
Nous avons $\overrightarrow{AB}(1,4)$ et $\overrightarrow{DC}(5-x,2-y)$.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ si et seulement si $x=4$ et $y=-2$.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, pour tous réels $a$ et $b$ :
- $a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}$
- $(a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u}$
- $a(b\vec{u})=(ab)\vec{u}$
- $1\vec{u}=\vec{u}$
$a\vec{u}=\vec{0}$ si et seulement si $a=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$.