Chapitre 13Calcul vectoriel

ExercicesNiveau 2

Exercice

L’espace est muni d’un repère orthonormal $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ représenté ci-après.
Le plan $(R)$ est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées ; il a pour équation : $x+z=2$.

  1. On donne les points $A$, $B$, $C$ définis par leurs coordonnées respectives : $A(6,0,0)$, $B(0,3,0)$ et $C(0,0,6)$.
    1. Placer les points $A$, $B$, $C$ dans le repère $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ et tracer le triangle $ABC$.
    2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
    3. Soit le plan $(P)$ passant par $A$, $B$ et $C$. Vérifier que le plan $(P)$ a pour équation $x+2y+z=6$.
  2. On a placé dans le repère les points $G$, $E$ et $F$ à coordonnées entières. Le point $G$ est situé sur l’axe $\left(O,\vec{j}\right)$, le point $E$ dans le plan $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$ et le point $F$ dans le plan $\left(O,\vec{j},\vec{k}\right)$.
    Le plan $(Q)$ passant par les points $G$, $E$ et $F$ est parallèle au plan $\left(O,\vec{j},\vec{k}\right)$.
    1. Donner l’équation du plan $(Q)$.
    2. Donner les coordonnées des points $G$, $E$ et $F$.
    3. Parmi les points $E$, $F$ et $G$ quels sont ceux situés dans le plan $(P)$ ?
    4. Quelle est la nature de l’ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x,y,z)$ vérifient le système :\[\left\{\begin{align*} y=2 \\ x+2y+z=6 \\\end{align*} \right.\]
    5. Représenter cet ensemble sur la figure ci-dessous.
  3. On considère le système $S$ de 3 équations à 3 inconnues $x$, $y$ et $z$ :\[\left\{\begin{align*}x+z=2 \\y=2 \\x+2y+z=6 \\\end{align*} \right.\]Quel est l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées sont les solutions du système $S$ ?
    1. En cours de réalisation.
    2. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(-6,3,0)$ et celles de $\overrightarrow{AC}$ sont $(-6,0,6)$.
    3. Pour cette question, plusieurs méthodes sont possibles.
      La plus rapide est d’utiliser le produit scalaire et le produit vectoriel, notions non définies dans ce chapitre. Nous ne ferons donc pas cette méthode mais les lecteurs connaissant ces outils pourront la faire.
      Une autre possibilité est de vérifier que les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ vérifie l’équation proposée : $x+2y+z=6$. Cette méthode est possible car l’énoncé du problème nous donne la réponse.
      Nous détaillerons ci-dessous une méthode n’utilisant que les concepts vus dans le chapitre et sans connaître à priori la réponse.
      Nous commençons par déterminer un système d’équations paramétriques de $(P)$.\[M\in (P)\iff\exists (\alpha,\beta)\in\R^2\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x &=& 6 &-& 6\alpha &-& 6\beta \\y &=& & & 3\alpha \\z &=& & & & & 6\beta \\\end{array}\right.\]En remplaçant $6\alpha$ par $2y$ et $6\beta$ par $z$ dans la première équation, nous en déduisons l’équation cartésienne $x=6-2y-z$ équivalente à $x+2y+z=6$.
    1. Le plan $(Q)$ étant parallèle au plan $\left(O,\vec{j},\vec{k}\right)$, son équation est du type $y=\text{constante}$. Or, les coordonnées de $G$ sont $(0,2,0)$.
      Donc, l’équation du plan $(Q)$ est $y=2$.
    2. Les coordonnées de $G$ sont $(0,2,0)$, les coordonnées de $E$ sont $(2,2,0)$ et les coordonnées de $F$ sont $(0,2,2)$.
    3. Pour savoir si un point est dans le plan $(P)$, il suffit de vérifier si ces coordonnées vérifient ou non une équation de $(P)$.
      Nous avons ici les résultats suivants : $G$ n’est pas un point du plan $(P)$, et les points $E$ et $F$ sont des points du plan $(P)$.
    4. Le système $\left\{\begin{align*}&y=2 \\&x+2y+z=6 \\\end{align*}\right.$ définit l’intersection du plan $(Q)$ et du plan $(P)$.
      Or, les points $E$ et $F$ sont des points de $(Q)$ par définition de ce plan et nous venons de montrer que ces deux points sont dans le plan $(P)$.
      Donc, ce système définit la droite $(EF)$.
    5. En cours de réalisation.
  3. Le système $\left\{\begin{align*}&x+z=2 \\&y=2 \\&x+2y+z=6 \\\end{align*} \right.$ définit l’intersection des trois plans $(P)$, $(Q)$ et $(R)$.
    Or, la droite $(EF)$ est incluse dans le plan $(R)$ et cette droite est aussi l’intersection des deux plans $(Q)$ et $(F)$.
    Ainsi, ce système définit la droite $(EF)$.
Exercice

L’espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
Soient deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ dont on connaît des représentations paramétriques :\[\begin{align*}\left({D_1}\right)&:\left\{\begin{aligned}x&=3+a \\y&=9+3a \\z&=2 \\\end{aligned} \right.&\text{ avec $a\in \R$,}\\\text{et}\quad\left({D_2} \right)&:\left\{\begin{aligned}x&=0,5+2b \\y&=4+b \\z&=4-b \\\end{aligned} \right.&\text{ avec $b\in \R$.}\end{align*}\]

  1. Indiquer les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{u_1}$, directeur de la droite $\left(D_1\right)$ et d’un vecteur $\overrightarrow{u_2}$, directeur de la droite $\left(D_2\right)$.
  2. Prouver que les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ ne sont pas coplanaires.

Exercice d’après le baccalauréat.

  1. Nous pouvons prendre pour $\overrightarrow{u_1}$, le vecteur de coordonnées $(1,3,0)$ et pour $\overrightarrow{u_2}$, le vecteur de coordonnées $(2,1,-1)$.
  2. Les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$, et $\overrightarrow{u_2}$, ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles). Donc, les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ ne sont pas parallèles.
    Si elles sont coplanaires, alors elles doivent être sécantes. Déterminons l’intersection de ces deux droites.
    Soit $M$ un point de coordonnées $(x,y,z)$.\[\text{$M$ est un point de $(D_1)$ et de $(D_2)$}\iff\exists (a,b)\in\R^2,\ \left\{\begin{align*}x=3+a \\y=9+3a \\z=2 \\x=0,5+2b \\y=4+b \\z=4-b \\\end{align*}\right.\]Or, ce système n’a pas de solution.
    Donc, les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ ne sont pas coplanaires.