Objectifs
L’objectif de ce module est une présentation succincte du calcul intégral. Le but est de voir le lien entre ce calcul et la recherche d’aires, ainsi que le lien entre la notion d’intégrale (qui sera définie ici) et la notion de primitive (également développée dans ce chapitre), notion qui comme nous le verrons est « l’inverse » de la dérivée.
Nous appliquerons ces outils pour le calcul d’aires et de volumes.
Pré-requis
On sait calculer l’aire d’une figure simple $T$ du plan : triangle, carré, rectangle, etc. On peut alors, avec ces différentes formules, calculer l’aire de toute surface limitée par une ligne polygonale, en la découpant en triangles ou en rectangles. L’aire de la figure est alors la somme des aires des différentes figures simples qui la composent.
Mais comment calculer l’aire d’une partie $T$ du plan, délimitée par une courbe fermée qui n’est plus polygonale ?
On peut, par exemple, encadrer $T$ par des surfaces $U$ et $V$ délimitées par des lignes polygonales (comme indiqué dans la figure…), de sorte que l’on ait $\mathrm{aire}(U)\le \mathrm{aire}(V)$ puis réitérer le même processus en prenant des encadrements de plus en plus « fins » ; intuitivement, les aires de $\mathrm{aire}(U)$ et $\mathrm{aire}(V)$ vont approcher de mieux en mieux l’aire de $T$.
Crédits
- Auteur du cours : Guy Athanaze (INSA de Lyon)
- Auteur de la « Présentation historique » : Paul Sablonnière (INSA et IRMAR de Rennes)