Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\le b$ et $f$ une fonction définie et positive sur l’intervalle $[a,b]$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan $P$ muni d’un repère orthonormé $\left(0,\vec{i},\vec{j}\right)$ et ${\Delta}_f$ le domaine du plan $P$ délimité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$, c’est-à-dire :\[{\Delta}_f=\left\{M(x,y)\in P\;\middle\vert\;a\le x\le b,\;0\le y\le f(x) \right\}.\]
Le théorème suivant est fondamental.
Pour toute fonction $f$ positive et continue sur un intervalle $[a,b]$, le domaine $\Delta_f=\left\{M(x,y)\in P\;\middle\vert\; a\le x\le b,\; 0\le y\le f(x)\right\}$ admet une aire.
Quoique assez intuitif, cette démonstration exige des notions qui dépassent le cadre de ce cours.
Soit $f$ une fonction positive et continue sur un intervalle $[a,b]$.
On appelle intégrale de $f$ sur $[a,b]$, et on note $\displaystyle\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$, le nombre réel égale à l’aire de ${\Delta}_f$.
On a donc, par définition de l’intégrale :\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\mathrm{aire}({\Delta}_f).\]
Le symbole $\displaystyle\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$ se lit « intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\;\mathrm{d}x$ ». La variable $x$ est dite muette, c’est-à-dire qu’elle peut être remplacée par n’importe quelle autre variable.
Ainsi $\displaystyle\int_a^b{f(t)\;\mathrm{d}t}$ désigne le même nombre réel que $\displaystyle\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$.
Calculons l’intégrale d’une fonction affine par morceauxUne fonction affine par morceaux est une fonction dont le graphe est composé de segments de droites.
Figure en cours de réalisation…
Sur le graphique est représenté le graphe d’une fonction positive $f$ affine par morceaux sur l’intervalle $[-2,4]$. On souhaite calculer.
Cette intégrale est l’aire du domaine hachuré, par conséquent :\[\int_{-2}^4{f(x)\;\mathrm{d}x}=1+3+2+\frac{1}2=\frac{13}{2}.\]
Calculer l’intégrale $\displaystyle\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}\;\mathrm{d}x}$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1,1]$ par $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
Dans ce cas :\[\begin{align*}\Delta_f&=\left\{M(x,y)\in P\ /-1\le x\le 1\, 0\le y\le \sqrt{1-x^2} \right\} \\&=\left\{M(x,y)\in P\;\middle\vert\;x^2+y^2=1\, y\ge 0 \right\}.\end{align*}\]On reconnaît l’équation du demi-cercle supérieur centré en $O$. Son aire est $d\frac{\pi}{2}$, par conséquent :\[\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}\;\mathrm{d}x}=\frac{\pi}{2}.\]
Concernant les fonctions négatives, on a la définition suivante.
Soit $f$ une fonction négative et continue sur un intervalle $[a,b]$ et $g$ la fonction définie, pour tout $x$ de $[a,b]$, par $g(x)=-f(x)$. L’intégrale de $f$ sur $[a,b]$ est le réel défini par $\displaystyle\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=-\int_a^b{g(x)\;\mathrm{d}x}$.
En termes d’aire, nous avons :\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\mathrm{aire}\left({{\Delta}_{-f}} \right).\]
On étend la définition de l’intégrale à des fonctions de signe non constant sur l’intervalle $[a,b]$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. On appelle intégrale de $f$ sur $[a,b]$, la somme des aires comptées algébriquementCela signifie qu’une aire est comptée positivement lorsqu’elle est située au dessus de l’axe des abscisses et négativement si elle est située en dessous de l’axe des abscisses-des domaines situés entre $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$..
Calculer l’intégrale de la fonction définie sur $[-3,3]$ par :\[f(x)=\begin{cases}-\dfrac{2}{3}x-2&\text{si $x\in [-3,0]$} \\\hphantom{-m}x&\text{si $x\in [0,3]$} \\\end{cases}\]
Cette fonction est positive sur $[2,3]$ et négative sur $[-3,2]$. Par conséquent :\[\int_{-3}^3{f(x)\;\mathrm{d}x}=-\mathrm{aire}(D)+\mathrm{aire}(D’)=-5+\frac{1}2=-\frac{9}{2}\]
Si $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a\ge b$, alors par définition :\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=-\int_b^a{f(x)\;\mathrm{d}x}.\]
Si $a=b$, alors :\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\int_a^a{f(x)\;\mathrm{d}x}=0.\]
Nous verrons par la suite l’intérêt de cette définition (dans la relation de Chasles entre autre).