Cas d’un plan
Soit le plan $(P_1)$ défini par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (non colinéaires), passant par $A$.
Tout point de $(P_1)$ est caractérisé par la relation :\[\exists (\alpha,\beta)\in\R^2,\ \overrightarrow{AM}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}.\]
Soit $R=\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ un repère de l’espace. En développant la relation ci-dessus, nous obtenons l’équation paramétrique ou cartésienne du plan…
Soient $(x_0,y_0,z_0)$ les coordonnées de $A$, $(a,b,c)$ les coordonnées de $\vec{u}$, $(a’,b’,c’)$ les coordonnées de $\vec{v}$ et $(x,y,z)$ les coordonnées d’un point $M$.
Soit $(P_1)$ le plan défini par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ passant par $A$.\[M\in (P_1) \iff\exists (\alpha,\beta)\in\R^2,\ \left\{\begin{align*}x&=x_0+\alpha a+\beta a’ \\y&=y_0+\alpha b+\beta b’ \\z&=z_0+\alpha c+\beta c’ \\\end{align*}\right.\]Ce système d’équation est un système d’équations paramétriques de $(P_1)$ .
Une équation cartésienne d’un plan est de la forme :\[\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0.\]Réciproquement, toute relation de la forme : $\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$, dans laquelle $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ ne sont pas simultanément nuls, est une équation d’un plan.
Cas d’une droite
Soit une droite $(D)$ passant par $A$ et parallèle au vecteur $\vec{v}$. Tout point de $(D)$ est caractérisé par la relation suivante :\[\exists \lambda\in\R,\ \overrightarrow{AM}=\lambda \vec{v}.\]
Soient $(x_0,y_0,z_0)$ sont les coordonnées de $A$, $(p,q,r)$ sont les coordonnées de $\vec{v}$ $(x,y,z)$ les coordonnées d’un point $M$.
Soit $(D)$ la droite passant par $A$ et parallèle au vecteur $\vec{v}$.\[M\in (D) \iff \exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{align*}x &= x_0 + \lambda p \\y &= y_0 + \lambda q \\z &= z_0 + \lambda r \\\end{align*}\right.\]
Une équation cartésienne d’une droite est de la forme :\[\left\{\begin{array}{rcrcrcl}ax &+& by &+& cz &=& d \\a’x &+& b’y &+& c’z &=& d’.\\\end{array}\right.\]Réciproquement, toute relation de la forme :\[\left\{\begin{array}{rcrcrcl}ax &+& by &+& cz &=& d \\a’x &+& b’y &+& c’z &=& d’,\\\end{array}\right.\]dans laquelle $(a,b,c)$ n’est pas proportionnel à $(a’,b’,c’)$, est une équation d’un plan.
- « $ax+by+cz=d$ » avec $a$, $b$ et $c$ non simultanément nuls est une équation d’un plan $P_1$, de même « $a’x+b’y+c’z=d’$ » avec $a’$, $b’$ et $c’$ non simultanément nuls est une équation d’un plan $P_2$.Ainsi, le système :\[\left\{\begin{array}{rcrcrcl}ax &+& by &+& cz &=& d \\a’x &+& b’y &+& c’z &=& d’\\\end{array}\right.\]détermine l’intersection des deux plans $P_1$ et $P_2$.
- Si nous avons un système de la forme\[\left\{\begin{array}{rcrcrcl}ax &+& by &+& cz &=& d \\a’x &+& b’y &+& c’z &=& d’\\\end{array}\right.\]avec $(a,b,c)$ proportionnel à $(a’,b’,c’)$, alors ce système est équivalent à $ax+by+cz=d$ (ou à $a’x+b’y+c’z=d’$), qui est l’équation d’un plan…