Soit une droite $(D)$ passant par un point $A$ et parallèle à un vecteur $\vec{v}$.
Tout point de $(D)$ est caractérisé par la relation :\[\exists \lambda\in\R,\ \overrightarrow{AM}=\lambda \vec{v}.\]
Soit $R=(O,\vec{i},\vec{j})$ un repère du plan.
Soient $(x_0,y_0)$ les coordonnées de $A$, $(p,q)$ les coordonnées de $\vec{v}$ et $(x,y)$ les coordonnées d’un point $M$.
Soit $(D)$ la droite passant par $A$ et parallèle au vecteur $\vec{v}$.\[M\in (D) \iff\exists \lambda\in\R,\ \left\{\begin{align*}x &= x_0 + \lambda p \\y &= y_0 + \lambda q \\\end{align*}\right.\]
Soit $(D)$ la droite passant par $A(1,2)$ et parallèle au vecteur $\vec{v}(1,-1)$.
Les équations paramétriques de $(D)$ sont :\[M\in (D)\iff\exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{align*}x &= 1 + \lambda \\y &= 2 – \lambda \\\end{align*}\right.\]Pour $\lambda=3$, nous obtenons que le point $B$ de coordonnées $(4,-1)$ est un point de $(D)$.
Est-ce que le point $C(5,4)$ est un point de $(D)$ ?
Pour cela, nous résolvons le système d’inconnue $\lambda$ :\[\left\{\begin{aligned}5 &= 1 + \lambda \\4 &= 2 – \lambda \\\end{aligned}\right.\iff \left\{\begin{aligned}\lambda &= 4 \\\lambda &=-2 \\\end{aligned}\right.\]Ce système n’ayant pas de solution, le point $C$ n’est pas un point de $(D)$.
Une équation cartésienne d’une droite est de la forme :\[\alpha x+\beta y+\gamma z=0,\ \text{où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont trois réels fixés.}\]Réciproquement, toute relation de la forme $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$, dans laquelle $\alpha$ et $\beta$ ne sont pas simultanément nuls, est une équation d’une droite.
Soient $(D)$ la droite passant par $A(1,2)$ et parallèle au vecteur $\vec{v}(1,-1)$, et $M$ un point de coordonnées $(x,y)$.
\[\begin{align*}M\in (D) &\iff\text{$\overrightarrow{AM}$ et $\vec{v}$ colinéaires} \\&\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\vec{v} \right)=0 \\&\iff\begin{vmatrix} x-1 & 1 \\ y-2 &-1 \\\end{vmatrix}=0 \\&\iff -(x-1)-(y-2)=0 \\&\iff -x-y+3=0\end{align*}\]Une équation cartésienne de $(D)$ est $-x-y+3=0$.
L’équation cartésienne réduite de $(D)$ est donc $y=-x+3$.
Soit $(D)$ la droite passant par $A(1,2)$ et parallèle au vecteur $\vec{v}(1,-1)$.
Les équations paramétriques de $(D)$ sont :\[M\in (D)\iff\exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{align*}x&=1+\lambda \\y&=2-\lambda \\\end{align*}\right.\]Nous avons :\[\begin{align*}\exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{aligned}x&=1+\lambda \\y&=2-\lambda \\\end{aligned}\right. &\iff\exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{aligned}\lambda &=x-1 \\y&=2-(x-1) \\\end{aligned}\right.\\&\iff -x-y+3=0\end{align*}\]Ainsi, une équation cartésienne de $(D)$ est $-x-y+3=0$.
Soit $(D)$ la droite passant par $A(1,2)$ et parallèle au vecteur $\vec{v}(1,-1)$.
Une équation cartésienne de $(D)$ est $-x-y+3=0$.\[\begin{align*}M\in (D) \iff -x-y+3=0 \\&\iff\exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{aligned} x&=\lambda \\-\lambda-y+3&=0 \\\end{aligned}\right. \\&\iff\exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{aligned}x&=\lambda \\y&=-\lambda+3 \\\end{aligned}\right.\end{align*}\]On en déduit ainsi un système d’équations paramétriques de $(D)$ :\[\exists\lambda\in\R,\ \left\{\begin{align*}x&=\lambda \\y&=-\lambda+3 \\\end{align*}\right.\]