Primitives des fonctions usuelles
Le dernier théorème du cours précédent, qui assure l’exsistence d’une primitive pour une fonctione continue sur un intervalle, fait apparaître l’intégration comme l’opération « inverse » de la dérivation.
Ainsi, nous pouvons dresser le tableau suivant qui permet de trouver des primitives pour les fonctions usuelles.
Soient la fonction $F$, une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$, $n$ un entier et $k$ un réel. Alors nous avons :
| $f(x)$ | $F(x)$ | $I$ |
|---|---|---|
| $k$ | $kx$ | $\R$ |
| $x^n,\;n\in\Z\setminus\{-1\}$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\begin{align*}&\text{si $n\ge 0$ : }\R \\ &\text{si $n\le {-2}$ : }{]-\infty,0[}\text{ ou } {]0,+\infty[}\end{align*}$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0,+\infty[$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln(x)$ | $]0,+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\R$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | $\R$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | $\R$ |
| $1+\tan^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ | $\tan(x)$ | $\left]-\dfrac{\pi}{2}+n\pi,\dfrac{\pi}{2}+n\pi\right[$ |
Les fonctions logarithmes ($\ln$) et exponentielles sont vues dans un autre module.
Primitives et opérations sur fonctions
Le tableau suivant découle des règles de calcul des dérivées pour les fonctions composées.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur l’intervalle $I$, $F$ une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$ et $n$ un entier différent de $-1$.
| $f$ | $F$ | Conditions |
|---|---|---|
| $u^nu’$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | Lorsque $n\lt-1,\;\forall x\in I,\;u(x)\ne 0$ |
| $\dfrac{u’}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}$ | $\forall x\in I,\;u(x)\gt 0$ |
| $\dfrac{u’}{u}$ | $\ln(u)$ $\ln(-u)$ | $\forall x\in I,\;u(x)\gt 0$ $\forall x\in I,\;u(x)\lt 0$ |
| $e^uu’$ | $e^u$ | |
| $\sin(u)u’$ | $-\cos(u)$ | |
| $\cos(u)u’$ | $\sin(u)$ |
Afin que $f$ soit définie, nous nous plaçons sur un intervalle $I$ sur lequel $u$ ne s’annule pas. Or, $u$ étant dérivable, $u$ est continue sur cet intervalle.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons en déduire que $u$ garde un signe constant sur $I$.Nous pouvons alors conclure :
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, ne s’annulant pas sur $I$. Alors, une primitive de la fonction $\dfrac{u’}{u}$ est $\ln\bigl(|u|\bigr)$.
Mise en application
Déterminer dans chacun des cas suivants une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ :
- $f(x)=x^3-3x-\dfrac{1}{2}$ sur $I=\R$,
- $f(x)=\sin(x)-\dfrac{2}x^2$ sur $I=]0,+\infty[$,
- $f(x)={(3x-1)}^6$ sur $I=\R$ On essaie de faire apparaître la forme $f(u)\times u’$ dans ces cas si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors dont $F\circ u$ est une primitive de $f(u)\times u’$ sur $I$, enfin on s’aide du second tableau.,
- $f(x)=\cos(3x)+3\sin(2x-1)$ sur $I=\R$ On essaie de faire apparaître la forme $f(u)\times u’$ dans ces cas si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors dont $F\circ u$ est une primitive de $f(u)\times u’$ sur $I$, enfin on s’aide du second tableau..
- $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3}{2}{x^2}-\dfrac{x}{2}$.
- $F(x)=-\cos(x)-2\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}=-\cos(x)+\dfrac{2}{x}$.
- Pour $f(x)={(3x-1)}^6$, on reconnaît presque la forme $u'{u^n}$ avec $u(x)=(3x-1)$ et $n=6$, comme $u’=3$, il suffit de faire apparaître le facteur $3$ en multipliant et en divisant par $3$, ce qui donne $f(x)=\dfrac{1}{3}\times 3\times {(3x-1)}^6$ puis : $F(x)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{{(3x-1)}^{6+1}}{6+1}=\dfrac{{(3x-1)}^7}{3\times 7}=\dfrac{{(3x-1)}^7}{21}$.
- On procède comme précédemment avec $f(x)=\dfrac{1}{3}\times 3\cos(3x)+\dfrac{3}{2}\times 2\sin(2x-1)$
On trouve : $F(x)=\dfrac{1}{3}\sin(3x)-\dfrac{3}{2}\cos(2x-1)$.
Déterminer dans chacun des cas suivants une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ ,;
- $f(x)=\dfrac{2}{{(x-1)}^4}$ sur $I=]1,+\infty[$ On essaie de faire apparaître la forme $f(u)\times u’$ dans ces cas si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors dont $F\circ u$ est une primitive de $f(u)\times u’$ sur $I$, enfin on s’aide du second tableau.,
- $f(x)=x^2{(3x^3-1)}^5$ sur $I=\R$ On essaie de faire apparaître la forme $f(u)\times u’$ dans ces cas si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors dont $F\circ u$ est une primitive de $f(u)\times u’$ sur $I$, enfin on s’aide du second tableau.,
- $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$ sur $I=]1,1[$ On reconnaît, à un facteur multiplicatif près, la forme $\dfrac{u’}{u}$ et $\dfrac{u’}{\sqrt{u}}$, on s’arrange donc pour faire apparaître la forme désirée.,
- $f(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^3-1}}$ sur $I=]1,+\infty[$ On reconnaît, à un facteur multiplicatif près, la forme $\dfrac{u’}{u}$ et $\dfrac{u’}{\sqrt{u}}$, on s’arrange donc pour faire apparaître la forme désirée..
- $f(x)=2\times \dfrac{1}{{(x-1)}^4}$ d’où $F(x)=2\times \frac{{(x-1)}^-4+1}{-4+1}=-\dfrac{2}{3{(x-1)}^3}$.
- $f(x)=x^2{(3x^3-1)}^5=\dfrac{1}{9}(9x^2){(3x^3-1)}^5$ d’où $F(x)=\dfrac{1}{9}\times \frac{{(3x^3-1)}^{5+1}}{5+1}=\dfrac{{(3x^3-1)}^6}{54}$.
- On écrit $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2x}{x^2-1}$, d’où la forme $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u’}{u}$ avec $u(x)=x^2-1$ ; comme $x^2-1\lt 0$ sur $I$, on obtient : $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln(1-x^2)$.
- On écrit $f(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^3-1}}=\frac{1}{3}\times \dfrac{3x^2}{\sqrt{x^3-1}}$, d’où la forme $\dfrac{1}{3}\times \frac{u’}{\sqrt{u}}$ avec $u(x)=\sqrt{x^3-1}$, on obtient donc : $F(x)=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^3-1}$.